高考数学母题：基于二次函数的函数分析试题类型.docVIP

[中国高考数学母题一千题](第0001号) 愿与您共建真实的中国高考数学母题(王老师:XXXXX) 基于二次函数的函数分析试题类型 基于二次函数的高考命题视角 高考对二次函数的考查情有独钟,但其考查的方式不仅限于单纯的二次函数性质,命题视角多样,形式开放,因此,有必要探究基于二次函数的高考命题视角,以此掌握此类高考试题类型. [母题结构]:分析基于二次函数的高考试题类型. [母题解析]:基于二次函数的高考试题类型可分为:专注于二次函数、起始于二次函数和落脚于二次函数等三种类型. 1.专注于二次函数 子题类型Ⅰ:(2015年安徽高考试题)设函数f(x)=x2-ax+b.(Ⅰ)讨论函数f(sinx)在(-,)内的单调性并判断有无极值,有极值时求出最值; (Ⅱ)记f0(x)=x2-a0x+b0,求函数|f(sinx)-f0(sinx)|在[-,]上的最大值D; (Ⅲ)在(Ⅱ)中,取a0=b0=0,求z=b-满足条件D≤1时的最大值. [解析]:(Ⅰ)设t=sinx,则t=sinx在(-,)上递增,f(t)=t2-at+b(-1t1);①当a≥2时,f(t)在(-1,1)上递减 f(sinx)在(-,)内递减,无极值;②当a≤-2时,f(t)在(-1,1)上递增f(sinx)在(-,)内递增,无极值;③当-2 a2时,在(-,)内存在唯一的x0,使得sinx0=,且f(t)在(-1,)上递减,在(,1)上递增f(sinx)在(-,x0)上递减,在(x0,)上递增f(sinx)有极小值=f()=b-,无极大值; (Ⅱ)当-≤x≤时,|f(sinx)-f0(sinx)|=|(a-a0)sinx-(b-b0)|≤|(a-a0)sinx|+|b-b0|≤|a-a0|+|b-b0|;当(a-a0)(b- b0)≥0时,取x=-,等号成立;当(a-a0)(b-b0)0时,取x=-,等号成立D=|a-a0|+|b-b0|; (Ⅲ)当a0=b0=0时,由D≤1|a|+|b|≤1|b|≤1b≤1z=b-≤b≤1,且当a=0,b=1时,z=1z的最大值为1. [点评]:专注于二次函数不同于单纯的二次函数,特指不与导数综合,但与其它知识综合的二次函数试题. 2.起始于二次函数 子题类型Ⅱ:(2007年安徽高考试题)设函数f(x)=-cos2x-4tsincos+4t3+t2-3t+4,x∈R,其中|t|≤1,f(x)的最小值记为g(t).(Ⅰ)求g(t)的表达式; (Ⅱ)讨论g(t)在区间(-1,1)内的单调性并求极值. [解析]:(Ⅰ)由f(x)=(sinx-t)2+4t3-3t+3≥4t3-3t+3,且当sinx=t时,等号成立g(t)=4t3-3t+3; (Ⅱ)由(t)=12(t+)(t-)g(t)在(-1,-)和(,1)内单调递增,在(-,)内单调递减;g(t)的极小值=g()= 2,极大值=g(-)=4. [点评]:起始于二次函数于包括:①二次函数最大(小)值包装的函数;②二次函数的切线;③二次函数与其它函数结合. 3.落脚于二次函数 子题类型Ⅲ:(2010年江苏高考试题)设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为(x).如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)0,使得(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a). (Ⅰ)设函数f(x)=lnx+(x1),其中b为实数;(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);(ii)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)已知函数g(x)具有性质P(2).给定x1,x2∈(1,+∞),x1x2,设m为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且α1,β1, 若|g(α)-g(β)||g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围. [解析]:(Ⅰ)(i)由(x)=-=(x2-bx+1),x1h(x)=0函数f(x)具有性质P(b); (ii)设T(x)=x2-bx+1,则(x)与T(x)的符号相同;①当Δ=b2-4≤0,即-2≤b≤2时,T(x)≥0(x)≥0f(x)在区间(1,+∞)上递增;②当b-2时,T(x)在区间(1,+∞)上递增T(x)T(1)=2-b0(x)0f(x)在区间(1,+∞)上递增;③当b2时,T(x)=0有一根x0=1(另一根∈(0,1))f(x)在(1,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增; (Ⅱ)由函数g(x)具有性质P(2)(x)=h(x)(x2-2x+1)=h(x)(x-1)2≥0g(x)在区间(1,+∞)上递增;①当m∈(0,1)时, 由α=mx1+(1-m)x2mx1+(1-m)x1=x1,α=mx1+(1-m)x2mx2+(1-m)x2=x2