04—一元二次方程根的分布-教师版.docxVIP

PAGE PAGE 1 高一数学暑假班（教师版） 教师 日期 学生 课程编号 课型 复习课 课题 一元二次方程根的分布 教学目标 利用二次函数的图像，解决一元二次方程根的分布． 教学重点 三种常见类型一元二次方程根的分布的求法． 教学安排 版块 时长 1 例题解析 60 2 巩固训练 30 3 师生总结 30 4 课后练习 30 二次方程的根从几何意义上来说就是二次函数与轴交点的横坐标，所以研究的实根的情况，可从函数的图象上进行研究. 若在内研究方程的实根情况，只需考查与轴交点的个数以及交点横坐标的符号，根据判别式以及韦达定理，由、、的值与符号，从而判断出实根的情况. 若在区间内研究二次方程，则需由二次函数图象与区间关系来确定. 1、与零有关的根的分布 分布情况 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，一个大于0 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 【例1】已知方程有两个不等正实根，求实数的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由 或即为所求的范围． 【例2】若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围． 方程两实根均为正数； 方程有一正根一负根． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】分析 讨论二次方程根的分布，应在二次方程存在实根的条件下进行．代数方法与图象法是研究二次方程根的分布问题的主要方法． 解1 （1）由题意，得 所以，当时，原方程两实根均为正数； （2）由题意，得 所以，当时，原方程有一正根一负根． 解2 二次函数的图象是开口向上的抛物线． （1）如图，由题意，得 。 所以，当时，原方程两实根均为正数； （2）如图，由题意，得 ． 所以，当时，原方程有一正根一负根． 评注 解2（1）中，条件是必要的．若将此条件改为，得到的二次函数的图象与原图象关于轴对称，此时得到的的值是两根均为负数的解． 【巩固训练】 1．已知关于的方程的两个实数根互为相反数． （1）实数的值； （2）关于的方程的根均为整数，求出所有满足条件的实数． 【难度】★★★ 【答案】见解析 【解析】（1）由题意，得； （2）由，得方程．由题意，得 ． 因为为整数，所以 所求的值为或． 2．已知二次方程有一正根和一负根，求实数的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由即，从而得即为所求的范围． 2、与有关的根的分布 分布情况 两根都小于即 两根都大于即 一个根小于，一个大于即 大致图象（） 得出的结论 大致图象（） 得出的结论 综合结论（不讨论） 【例3】若关于的方程的一个大于、另一根小于，求实数的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】，，． 【例4】若关于的方程的两根均小于，求实数的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】，． 【例5】已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由即即为所求的范围． 【例6】已知二次方程只有一个正根且这个根小于1，求实数的取值范围． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】由题意有方程在区间上只有一个正根，则即为所求范围． 【例7】若是关于的方程的两个实数根，且都大于1． (1) 求实数的取值范围；(2) 若，求的值． 【难度】★★★ 【答案】(1)；(2)． 【巩固训练】 1．关于的方程的一个根比1大，另一个根比1小，则（ ） 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】设．由，解得．所以，应选． 2．实数为何值时，方程的两根都大于． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】设．由题意，得 ． 所以，当时，原方程的两根都大于． 3．若方程的根满足下列条件，分别求出实数的取值范围． 方程两实根均大于1； 方程有一根比1大，一根比1小． 【难度】★★ 【答案】见解析 【解析】分析 本题的要求虽然与例1仅一字之差，由于“两实根均大于3”与“”不等价，因而解法有所变化。思路一，将原问题化归为例1求解；思路二，运用图象法求解． 解1 设，原方程可化为 。 由题意，关于的方程的两根均为正数，得 。 所以，当时，原方程两实根均大于1； 由题意，关于的方程的两根为一正根和一负根，得 所以，当时，原方程有一根比1大，一根比1小． 解2 原方程可化为 由函数的图象，得 所以，当时，原方程两实根均大于1； 由函数的图象，得 所以，当时，原方程有一根比1大，一根比1小． 4．（1）已知：是方程的两个根，且，求的取值范围； （2）若的两根都小于，求的取值范围． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 3、与区间（m，n）有关的根的分布 分布情况 两根都在内 两根有且仅有一根在内（图象有两种情况，只画了一种） 一根在内，另