西北工业大学《概率论与数理统计》2.1.3_一维随机变量及其分布.pdf

第一节 一维随机变量 及其分布(3) 五、连续型随机变量 六、典型的连续型 回 随机变量及其分布 回 停 停 下 下 五、连续型随机变量 五、连续型随机变量 1.连续型随机变量及其密度函数 定义 对于随机变量X ，若存在非负可积函 数p (x) ( x ∈R), 使得X 的分布函数 x F (x ) ∫−∞p (y )dy 则称X 为连续型随机变量,且称p (x) 为密度函 数,或概率密度. 注 此定义中涉及三个名词: 连续型随机变量, 密度函数,分布函数. 2.密度函数的性质 2.密度函数的性质 设X 为连续型随机变量, p (x) 为X 的密度函数, F(x)为X 的分布函数,则 (1) p (x ) ≥0, x ∈R; +∞ (2) ∫−∞ p (x )dx 1; b (3) P {a X ≤b} F (b) −F (a) ∫a p (x )dx ; (4) P {X c} 0. 证 证 前3个性质显然成立,下面只给出第4个 性质的证明 ∵ {X c} ⊆{c −ε X ≤c}, ε 0 而 0 ≤P {X c} ≤P {c −ε X ≤c} lim P {c −ε X ≤c} + ε→0 c lim ∫c−εp (x ) d x 0. + ε 0 → 为什么等于零？ ∴ P {X c} 0. 变上（下）限积 分连续 注 1º 性质4说明对于任意可能值c ,连续型随机 注 变量取c 的概率等于零. 2º 若X 为连续型随机变量，则 P {a X ≤b} P {a X b} P {a ≤X b} P {a ≤X ≤b} 连续型随机变量的概率与区间的开闭无关 3º P (A ) 0 A = ∅ P (A) 1 A = Ω 例1 设随机变量X 的概率密度为 ⎧ −