物理竞赛第三讲(定积分在物理学-中的应用).docxVIP

物理竞赛辅导第二讲 （定积分在物理中的应用） 1.定积分 以上两个例子表明，许多物理问题中需要计算像(A.47)和(A.49)式中给出的那类极限值。概括起来说，就是要解决如下的数学问题：给定一个函数f(x)在区间[a,b]上连续，用一系列分点a=........=b,将区间[a,b]等分为n个子区间，设每小段的大小为△x，求n→∞、△x→0时 为函数在区间[a,b]的定积分式中f(x)、和x分别称为被积函数、被积式和积分变量。为积分号，a和b分别称为积分下限和积分上限，[a,b]称为积分区间。 定积分的几何意义 ： 由函数曲线、自变量坐标轴以及积分上下限所决定的曲边梯形的面积。对于 当时，是曲边梯形的面积 当时，是曲边梯形的面积的负值 定积分可视为对连续量求和 两个规定： 1、 当时，规定 2、 当时，规定 这个等式不论a，b谁大谁小均成立 牛顿—莱布尼茨公式 设是函数在区间[a,b]的一个原函数，即，则 求解两曲线围成的平面图形的面积的一般步骤： （1）作出示意图；（弄清相对位置关系） （2）求交点坐标；（确定积分的上限，下限） （3）确定积分变量及被积函数； （4）列式求解 定积分在物理学中的应用 问题1：变速直线运动的路程 匀速直线运动： 匀加速直线运动： 任意直线运动： 设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a, b]内运动的距离s为 例1：一辆汽车的速度在一段时间内如图所示，求汽车在这1min行驶的路程 例2 ：一点在直线上从时刻t＝0(s)开始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)运动，求 (1) t＝4 s时的位移； (2) t＝4 s时的路程． 问题 2：变力沿直线所作的功 恒力做功：W=FS 物体在变力F(x)的作用下做直线运动，并且物体沿着与F(x)相同的方向从x=a点移动到x= b点，则变力F(x) 所做的功为: 例1：如图在弹性范围内，将一弹簧从平衡位置拉到距离平衡位置Lm处，求克服弹力所作的功。 例2.设弹簧在1N力的作用下伸长0.01米，要使弹簧伸长0.1米，需作多少功？ 例3.已知一弹簧长为25cm，若加以100N的力，则弹簧伸长到30cm，求使弹簧由25cm伸长到40cm所需作的功。 例4.火箭需要计算克服地球引力所作的功，设火箭的质量为m，问将火箭垂直地向上发射到离地面高H时，需作多少功。并由此计算初速度至少为多少时，方可使火箭脱离地球的引力范围。 竞赛题 例5：一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度与它离地面的高度h之间满足的关系是，其中常数L=20cm，=2cm/s。求它上爬20cm所用的时间。 例6：蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离为反比，当蚂蚁爬到距巢中心=1m的A点处时，速度是=2cm/s，试问，蚂蚁从A点爬到距巢中心=2m的B点所需的时间为多少？