物理竞赛辅导第一讲-导数及微分.docxVIP

物理竞赛辅导第一讲（微积分） 概念梳理 1.常量、变量和函数 在某现象或过程中取值保持一定的量叫做常量，如e，π或中学匀速直线运动位移公式s=vt中的v等均是变量。在某些现象或过程中取值会发生变化的量叫做变量，如随时间流逝，时间t为变量；随物体的移动，物体的位置坐标x、y、z是变量，等等。 现有互相联系的两个变量x和y，如果当其变域内任取定一数值时，y都有确定的值与之对应，则称y是x的函数，x叫做自变量，函数y又称为因变量，记为 y=f(x) 自变量x的变域称为函数f(x)的定义域，而与定义域对应的所有函数值构成y的值域。如物体运动时位移为时间的函数s=s(t) 物理学中函数的实例 （1）匀速直线运动公式 s=s0＋vt， （A．2） 此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数。因此我们记作 s=s（t）＝s0＋vt，?（A．3） 式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值。 图A-3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线。下面我们将看到，它的斜率等于v． （2）匀变速直线运动公式 v=v0＋at，?（A．5） 两式中s和v是因变量，它们都是自变量t的函数，因此我们记作 v＝v（t）＝v0t＋at．（A．7） 导数 2．1极限 ? 如果当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f（x）的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f（x）的极限值，并记作 （A．17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A．17）式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a” 2．2几个物理学中的实例 （1）瞬时速度 为了建立速率的概念，我们就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况。假设我们考虑的是从t＝t0到t＝t1的一段时间间隔，则这间隔的大小为 △t＝t1-t0． 根据s和t的函数关系s（t）可知，在t0和t1＝t0+△t两个时刻，s的数值分别为s（t0）和s（t1）＝s（t0+△t），即在t0到t1这段时间间隔里s改变了 △s＝s（t1）－s（t0）＝s（t0+△t）－s（t0）． 在同样大小的时间间隔△t里，若s的改变量△s小，就表明物体运动得慢， ? 举例来说，对于匀变速直线运动，根据（A．4）式有 体在t＝t0时刻的瞬时速率v，即 对于匀变速直线运动来说， 这就是我们熟悉的匀变速直线运动的速率公式（A．5）。 2．3函数的变化率——导数 当变量由一个数值变到另一个数值时，后者减去前者，叫做这个变量的增量。增量，通常用代表变量的字母前面加个“△”来表示。例如，当自变量x的数值由x0变到x1时，其增量就是 △x≡x1-x0．?（A．25） 与此对应。因变量y的数值将由y0＝f（x0）变到y1=f（x1），于是它的增量为 △y≡y1-y0=f（x1）－f（x0）＝f（x0+△x）－f（x0）．（A．26） 应当指出，增量是可正可负的，负增量代表变量减少。增量比 可以叫做函数在x＝x0到x＝x0+△x这一区间内的平均变化率，它在△x→0时的极限值叫做函数y＝f（x）对x的导数或微商，记作y′或f′（x）， f（x）等其它形式。导数与增量不同，它代表函数在一点的性质，即在该点的变化率。即：函数在一点处函数值的改变量与自变量的改变量之比当自变量改变量趋于零时的极限。 应当指出，函数f（x）的导数f′（x）本身也是x的一个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫做函数y＝f（x） 2．4导数的几何意义 导数的几何意义是切线的斜率。 3．导数的运算 练习1 求下列各式的导数 (常量) （2） （3） 导数基本公式 （2） （3） （4） （4） 导数的四则运算 （2） 特例（c为常数） （3） () (4)当为的反函数，且时， 当，，即y为x的复合函数时， 若的导数对x可导，称为的二阶导数（导数亦称为一阶导数）记为、或。比如速度是位置坐标的一阶导数，加速度是位置坐标的二阶导数。 练习2.求下列函数的导数 y=3 （2） Y= Y=A为常数 微分 函数y=f(x)，自变量X的无限小增量称为自变量X的微分，记为。若函数f(x)在x处可导，则其在x处的导数与自变量微分的乘积称为函数y=f(x)在x处的微分，记为即 有了微分概念之后，函数y=f(x)的导数可