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物理竞赛辅导 第二讲 1.不定积分与定积分 （1）原函数 设f(x)是定义于某一区间上的函数，若存在另一函数,使得在该区间上的每一点有 ，则称为在该区间上的原函数。 若是的一个原函数，C为一任意常数。由于C的导数为0。所以+C也是的原函数。由此可见，只要有一个原函数，它就有彼此之间差一常数的无穷多个原函数，并可以用+C来统一表示这些原函数。 （2）不定积分 函数的所有原函数叫做的不定积分，记为。若为的一个原函数，则的不定积分可写作 =+C 式中称为被积函数，称为被积式，x叫做积分变量。称作积分号，C则称作积分常数。 根据不定积分的定义，我们可知不定积分有如下性质 这两条性质表明不定积分是导数的逆运算。 下面列出最基本的几个不定积分的公式 （2）（3） （4） （5） （6） （7） 练习3. 求 （3）定积分 设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，用一系列分点a=........=b,将区间[a,b]等分为n个子区间，在每一个子区间[]上任取一点（i=1,2.3,4.......n）,求和式为，当n无穷，0时，求和式的极限称为函数在区间[a,b]的定积分，记为 即 式中f(x)、和x分别称为被积函数、被积式和积分变量。为积分号，a和b分别称为积分下限和积分上限，[a,b]称为积分区间。 定积分的主要性质 （2）（k为常数，） 若将区间[a,b]分为两个区间，[a,c]和[c,b],则 （5）牛顿—莱布尼茨公式 设是函数在区间[a,b]的一个原函数，即，则 练习4.已知质点沿x轴做直线运动的加速度为，且已知t=0时x=-A,V=0,求质点的运动学方程。（为常量） 练习5. 推导匀变速直线运动的路程公式。 解：v(t)=v0+at， 例题 练习 例1：一只蜗牛从地面开始沿竖直电杆上爬，它上爬的速度与它离地面的高度h之间满足的关系是，其中常数L=20cm，=2cm/s。求它上爬20cm所用的时间。 例2：蚂蚁离开巢沿直线爬行，它的速度与到蚁巢中心的距离为反比，当蚂蚁爬到距巢中心=1m的A点处时，速度是=2cm/s，试问，蚂蚁从A点爬到距巢中心=2m的B点所需的时间为多少？ 例3：已知一质点做变加速直线运动，初速度为，其加速度随位移线性减小的关系即加速过程中加速度与位移之间的关系满足条件a=-ks，式中a为任一位置处的加速度，s为位移，、k为常数，求当位移为时质点的瞬时速度。 例4：将一小球以30m/s的初速度竖直上抛，以后每隔1s抛出一球（空气阻力可以忽略不计），空中各球不会发生碰撞，问： 最多能有几个小球同时在空中？ 设在t=0时第一个小球被抛出，那么它应该在哪些时刻和以后抛出的小球在空中相遇而过？（g取10m/）