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立方和公式 立方差公式 三项立方和公式 推导过程： 完全立方公式 (a-b)3=a3+3ab2-3a2b-b3 立方和累加 正整数范围中 注：可用 数学归纳法证明 公式证明 迭代法一 我们知道： 0次方和的求和公式 ，即 1次方和的求和公式 ，即 2次方和的求和公式 ，即 —— 平方和公式，此公式可由同种方法得出，取公式 ，迭代即得。 具体如下： (k+1)3 - k3 = (k3 + 3k2 + 3k + 1) - k3 = 3k2 + 3k + 1 利用上面这个式子有： 23 - 13 = 3×12 + 3×1 + 1 33 - 23 = 3×22 + 3×2 + 1 43 - 33 = 3×32 + 3×3 + 1 53 - 43 = 3×42 + 3×4 + 1 …… (n+1)3 - n3 = 3×n2 + 3n + 1 把上述各等式左右分别相加 得到： (n+1)3-13 = 3×(12+22+32+……+n2) + 3×(1+2+3+……+n)+n×1 n3 + 3n2 + 3n + 1 - 1 = 3×(12+22+32+……+n2)+3×n(n+1)/2+n (1) 其中12 + 22 + 32 + …… + n2 = n(n+1)(2n+1)/6 代入(1)式，整理後得 13 + 23 + 33 + …… + n3=[n(n+1)/2]2 迭代法二 取公式： 系数可由 杨辉三角形来确定 那么就得出： …………⑴ …………⑵ …………⑶ ………… …………(n). 于是⑴+⑵+⑶+…+(n)有 左边= 右边= 把以上这已经证得的三个公式代入， 得 移项后得 等号右侧合并同类项后得 即 推导完毕。 因式分解证明 几何验证 图象化立方和公式 透过绘立体的图像，也可验证立方和。根据右图，设两个立方，总和为： 把两个立方体对角贴在一起，根据虚线，可间接得到： 要得到 ，可使用 的空白位置。该空白位置可分割为3个部分： · · · 把三个部分加在一起，便得： = = 之后，把 减去它，便得： 公式发现两个数项皆有一个公因子，把它抽出，并得： = 可透过 完全平方公式，得到： = = 这样便可证明：