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动态规划的关键点 最优化原理 子问题最优化结构 无后效性 未来与过去无关 状态 描述最优解的结构 状态转移方程 递归定义最优解的值 程序实现 用记忆化有哪些信誉好的足球投注网站或迭代法求解 例1：01背包 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品只有1个，体积是v[i]，价值是w[i]。选择物品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，求出这个最大价值。 分析 状态：f[i,j]表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的最大价值。 考虑第i种物品装或不装进行状态转移: 1.装：f[i-1,j-v[i]]+w[i](必须满足j=v[i]) 2.不装：f[i-1,j] 两种情况取较大值。 状态转移方程为： 0 i=0(边界条件) f[i,j]= f[i-1,j] jv[i] max(f[i-1,j],f[i-1,j-v[i]]+w[i]) j=v[i] 答案为f[n,v]，时间复杂度为O(N*V)。 例2：完全背包 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品有无穷个，体积是v[i]，价值是w[i]。选择物品装入背包使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大，求出这个最大价值。 方法一 状态：f[i,j]表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的最大价值。 考虑第i个物品装几个来进行状态转移，假设装x个，x的范围为0=x=j div v[i] 状态转移方程： 0 i=0 f[i,j]= max{f[i-1,j-x*v[i]]+x*w[i]} 0=x=j div v[i] 答案为f[n,v],时间复杂度为o( ) 方法二 状态：f[i,j]表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的最大价值。 考虑第i个物品装或不装来进行状态转移： 1.装:必须满足j=v[i]，由于物品有无穷多个，装一次后后面还可以再装，所以状态为f[i,j-v[i]]+w[i]; 2.不装：f[i-1,j] 状态转移方程： 0 i=0 f[i,j]= f[i-1,j] jv[i] max(f[i-1,j],f[i,j-v[i]]+w[i]) j=v[i] 答案为f[n,v]，时间复杂度为O(N*V)。 例3：多重背包 有N种物品和一个容量为V的背包。第i种物品最多有m[i]件可用，体积是v[i]，价值是w[i]。选择物品装入背包可使这些物品的体积总和不超过背包容量，且价值总和最大。 方法一 状态：f[i,j]表示用体积为j的背包装前i个物品能获得的最大价值。 跟完全背包方法一相同，考虑第i个物品装几个来进行状态转移，假设装x个，x的范围为0=x=min(j div v[i],m[i]) 状态转移方程： 0 i=0 f[i,j]= max{f[i-1,j-x*v[i]]+x*w[i]} 其中0=x=min(m[i],j div v[i]) 答案为f[n,v],时间复杂度为O(V* )。 方法二 把“m[i]个第i种物品”看作是“m[i]种物品”，每种物品只有一个，体积和价值分别为v[i]和w[i]，这样原问题就转变为 个物品的01背包问题。 时间复杂度也是O(V* )。 方法三 应用二进制的思想，我们考虑把第i种物品换成若干件物品，使得原问题中第i种物品可取的每种策略(取0..m[i]件)均能等价于取若干件代换以后的物品。另外，取超过m[i]件的策略必不能出现。 方法是：将第i种物品分成若干件物品，其中每件物品有一个系数，这件物品的体积和价值均是原来的体积和价值乘以这个系数。使这些系数分别为 1,2,4,...,2^(k-1),m[i]-2^k+1，其中k满足m[i]-2^k+12^k。例如，如果m[i]为13，就将这种物品分成系数分别为1,2,4,6的四件物品。 如何证明任何x(0=x=m[i])都可以用上述系数相加得到？ 方法三 证明： 当x=0时：只要都不选就可以； 当1=x=2^k-1时：把x转为二进制，选择对应位为1的物品。如x=5,5的二进制为101，5=1+4； 当2^k=x=m[i]时：由于m[i]-(2^k-1)2^k，则选择m[i]-(2^k-1)，剩下的为x-m[i]+2^k-1=2^k-1可以由前面的1,2,...,2^(k-1)组合得到。 物品i可以被分解为 个数量为1的物品，题目就转化为 个物品的01背包。 时间复杂度