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河北省近五年中考数学压轴题综述 河北省中考数学最后一道压轴题的命制，从1996年至2001年的近五年来呈现出一个规 律：都是几何图形运动型的综合题，并且由运动的几何图形来看，类型各异，颇具特色。 一、单点运动型 例1 (1999年河北省中考压轴题)如图1-1,止方形0ABC的顶点0在坐标原点，且0A边 3 4 25 与AB边所在直线的解析式分别为：y二兀和y二-弘+丁。D、E分别为边OC和AB的中点，P 为0A边上一动点(点P与点0不重合)，连结DE和CP,其交点为Q。 求证：点Q为ACOP的外心； 求止方形OABC的边长； 当OQ与AB相外切吋，求点P的坐标。 解：(DTD、E分别为正方形OABC屮OC、AB的屮点, ADEZ/OAo ???Q也是CP的屮点。 又TCP是RtACOP的斜边， ???点Q为ACOP的外心。 (2)由方程组〔尸3才4 (2)由方程组〔尸 3 才 4丄25 X +— 解得 ?:点A的坐标为(4, 3)o 过点A作AF丄ox轴，垂足为点F。 ?：0F二4，AF=3o 由勾股定理，得0A二也2+恳二5。 (3)如图1-2,当ACOP的外接圆OQ与AB相切时, ???圆心Q在直线DE上，口 DE丄AB, ???E为。Q与AB相切的切点。 乂TAE和APO分别是0Q的切线与割线 AAE2=AP ? A0 5 ???0A二5, AE二二 5 ???(2)2=AP ? 5, 5 ???AP二刁 5 = 15 ???当0 Q与AB相切时,0P=5-习-石 作PH丄ox,垂足为H。 ???PH〃AF, OP = OH = PH ? OA = OF = AF OP? OP?OF ???0H二 15川 -rx4 一 一？ 15 q OP.AF 9 pi|= OA 5 4 9 ???点P的坐标为(3, 4) 二、双点互动型 例2 (1997年河北省中考压轴题)已知:如图2-1,在直角梯形ABCD中，AD〃BC,ZB=90。, AB二8厘米，AD=24厘米，BC二26厘米，AB为(DO的直径。动点P从点A开始沿AD边向点D以 1厘米/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动。P、Q分别 从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随Z停止运动。设运动时间为t秒。 求：(1)1分别为何值吋，四边形PQCD为平行四边形、等腰梯形? A— F D(2)t分别为何值时，直线PQ与00相切、相交、相离? 解：(1)TAD〃 A— F D ???只要QC二PD,四边形PQCD为平行四边形。 此时,有3t=24-t, 解，得t二6。 即当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形。 同理,只要 PQ二CD, PDHQC, 四边形PQCD为等腰梯形。 过P、【)分别作BC的垂线交BC于E、F两点(如图2-2),则由等腰梯形的性质可知: EF二PD, QE二FC二2。 A2=2 [3t (24-t)] 解得t=7 ???t二7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。 u图2-2 u 图2-2 (2)设运动t秒时,直线PQ与。0相切于点G(如图2-3),过P作PH丄BC,垂足为H。 则 PH二AB, BH=AP, 即 PH=8, HQ=26-3t-t=26-4to 由切线长定理，得 PQ=AP+BQ=t+26-3t=26-2to 由勾股定理，得PQ2=PH2+HQ2, 即(26-2t)2=82+(26-4t)2 化简整理，得3t2-26t+16=0 解，得 t］二了，t2=8 2 即t二勺秒或t二8秒时，直线PQ与00相切。 26 2 ???t二0（秒）时，PQ与。0相交；当t=y=85 （秒）时，Q点运动到B点，P点尚未运动到D 点，但也停止运动，此时PQ也与相交。 2 ??.当t二了或t=8吋,直线PQ与O0相切; 2 2 当OWtV了或8VtW如时，直线PQ与相交； 2 当3t8时，直线PQ与00相离。 三、直线平移型 例3 （2000年河北省中考压轴题）在如图3-1所示的直角坐标系中，点C在y轴的正半轴 上，四边形OABC为平行四边形，0A二2, ZA0C=60° ,以0A为直径OP经过点C,点D在y轴 上，DM为始终与y轴垂直且与AB边相交的动直线，设DM与AB边的交点为M（点M在线段AB 上，但与A、B两点不重合），点N是DM与BC的交点设OD=to （1） 求点A和B的坐标； （2） 设△BMN的外接圆OG的半径为R,请你用t表示R及点G的坐标； （3） 当OG与（DP相切时，求直角梯形OAMD的面积。 F. F. x 0卜JJZ x E3-1 ?3-2 解：⑴连结AC。 VOA为（DP的直径，???ZACO二90。 又 V0A=2, ZA0C=60° , AOC=1, AC二疗 ???点A的坐标为