数学人教版九年级上册圆周角定理拓展之角度问题的辅助圆构造.docVIP

《九年级上半期专题课——角度问题中的辅助圆构造》教案 科 目 数学 课题 专题：构造辅助圆 教 师 周韧 班级 初三（15）班 时间 2016.11．10 学情分析 在本节专题课前,学生已经完整学习了圆的所有基本知识,掌握了圆的有关性质,而角度问题是初中数学压轴题中一类比较困难的题型，本学段的学生对于直线形中常见的几何问题形成了一些基本的解题策略,而利用辅助圆进行角度的转化是优于其他方式的，所以从这个新的视角解决角度问题需要我们帮助学生进行归纳总结提升,而本节课想要达到的目的,就是引导学生学会发现模型,利用模型构造辅助圆，并初步形成构造曲线形辅助线的意识. 教学目标 进一步巩固圆的定义和性质以及圆周角定理； 感受利用辅助圆解决角度问题的优势； 3、能够从圆的“集合”定义出发，发现构造辅助圆的基本模型，发展到在图形中发现模型从而构造辅助圆； 4、逐步建立从圆的观点看问题的意识，能够多角度认识事物，全面还原事物的本质. 教学重点 利用辅助圆解决角度间的转化问题 教学难点 回归圆的“集合”定义，发现图形中构造圆的模型 教学方法 变式延伸，讲练结合、教师启发下的学生自主探究 教学用具 几何画板，圆规，直尺 教 学 设 计 教学过程 设计说明 一、寻根溯源 我们先来看看这道我们熟悉的题目，引例（课本P88习题） 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC， 求证：∠ACB=2∠BAC 1、学生完成证明后，画板中展示解答； 证明：∵OA，OB，OC都是圆O的半径， 又∵弧AB=弧AB，弧BC=弧BC， ∴∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC， 又∵∠AOB=2∠BOC， ∴∠ACB=2∠BAC. 2、提问：在这道证明题中，证明的过程中用到了什么定理？而圆在这个问题中发挥了怎样的作用？思路是怎样的？ 生答：用到了圆周角定理，圆为本题提供了转化角的可能与便捷，思路是利用圆周角定理，将圆心角的条件转化为圆周角的结论从而得证。 二、启发思路 如图，OA=OB=OC，∠AOB=2∠BOC， 求证：∠ACB=2∠BAC 1、提问：图形中有几个等腰三角形？分别是哪三个？ 生答：3个，△AOB，△BOC，△AOC； 2、思路引导：∠AOB和∠BOC是两个等腰三角形的顶角，而∠ACB和 ∠BAC又与△AOB和△BOC的底角有关，所以可以考虑利用顶角与底角的关系来解决本题，请同学们完成证明； 3、三分钟后画板展示证明过程； 证明：∵OA=OB, ∴∠OAB=∠OBA ∴∠OAB=， 同理∠OCA=∠OAC=，∠OCB= ∵∠ACB=∠OCB-∠OCA== ∵∠BAC=∠OAB-∠OAC== 又∵∠AOB=2∠BOC， ∴∠ACB=2∠BAC 4、提问：这个证明过程是不是稍微显得有些复杂呢？那么我们再来想想有没有别的什么办法：再来看看这个图形与引例的图形，你有什么发现吗？ 生答：比习题中少了个圆； 如果有这个圆，这道题是不是就能像引例一样利用圆周角定理更快捷的解决了呢？那根据这道题的条件我们可以让这个圆出现吗？ 生答：可以，因为OA=OB=OC，所以A，B，C三点在以O为圆心，OA为半径的圆上； 请同学们添出辅助圆，并完成证明； 证明：∵OA=OB=OC， ∴A，B，C在以O为圆心，OA为半径的圆上， ∴弧AB=弧AB，弧BC=弧BC， ∴∠AOB=2∠ACB，∠BOC=2∠BAC， 又∵∠AOB=2∠BOC， ∴∠ACB=2∠BAC. 5、引导：我们经常添加辅助线来解题，并且，以前所做的辅助线都是直线形，而通过这道题，我们发现，所添加的辅助线也可以是曲线形，初中阶段，构造辅助圆就是曲线形辅助线的代表，请同学们尝试总结一下在图形中发现了怎样的模型时可以构造辅助圆？ 6、图形中出现了三条（及以上）有公共端点的相等线段这种模型时可以构造圆，因为圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 7、为什么要构造辅助圆？ 利用辅助圆可以方便的将角的条件进行转化，将其转化至可以我们需要的位置并解决问题. 三、思路应用 师：利用辅助圆解决角度问题在这两年的大型考试中屡有出现，我们选择一些题目再来深化我们对于这种模型的理解与应用； 1、几何画板展示例题 （2016·屏东模拟）已知△ABC中，点D是点A绕着点B顺时针旋转60°得到的，过点D作直线DP，点A关于直线DP的对称点为E，连接AE，BE. （1）依题意补全图； （2）把直线DP绕着点D旋转一周， 求∠AEB的度数. 师：请同学们用三角板和圆规在学案上将图形补充完整；巡视后通过画板展示； 2、提问：问题（2）依然是求角度的问题，那么请大家观察一下图形，图中隐藏着相等长度的线段吗？ 生答：根据图形中的旋转和翻折，容易发现连接DE，DB后，DE=DA=DB， 所以由此我们能发现图形中的基本