【高中数学】课后练习第8讲 适当放缩在数列中的应用（下）.docVIP

第8讲 适当放缩在数列中的应用（下） 题一：已知数列是公差不为0的等差数列，的等比中项.（1）求数列的通项公式； （2）设 题二：已知数列的首项为，前项和为，且对任意的，当n≥2时，an总是3Sn－4与2－ EQ \f(5,2)Sn的等差中项（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设，是数列的前项和，求；（Ⅲ）设，是数列的前项和，，，试证明：． 题三：设无穷数列{an}具有以下性质：①a1=1；②当 （Ⅰ）请给出一个具有这种性质的无穷数列，使得不等式 对于任意的都成立，并对你给出的结果进行验证（或证明）； （Ⅱ）若，其中，且记数列{bn}的前n项和Bn，证明： 题四：已知数列满足（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；（Ⅲ）证明： 题五：已知数列的首项，，．（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的，，； （Ⅲ）证明：． 题六：已知数列{an}满足a1=5，a2=5，an+1=an+6an－1（n≥2，n∈N*），若数列是等比数列.（Ⅰ）求数列{an}的通项公式； （Ⅱ）求证：当k为奇数时，； （Ⅲ）求证： 第8讲 适当放缩在数列中的应用（下） 题一： 详解：设 解得 （2）证明： 题二：an＝2 详解：（Ⅰ）当n≥2时，2an＝3Sn－4＋2－ EQ \f(5,2)Sn，即2(Sn－Sn－1)＝3Sn－4＋2－ EQ \f(5,2)Sn， 所以Sn＝ EQ \f(1,2) Sn－1＋2∴ EQ \f(an＋1,an)＝\f(Sn＋1－Sn,Sn－Sn－1)＝\f((\f(1,2)Sn＋2)－(\f(1,2)Sn－1＋2),Sn－Sn－1)＝\f(1,2)(n≥2) 又2＋a2＝ EQ \f(1,2)×2＋2＝3 ? a2＝1 ? EQ \f(a2,a1)＝\f(1,2)∴数列{an}是首项为2，公比为 EQ \f(1,2)的等比数列∴an＝2 (n∈N*) （Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝22－n(n∈N*)则 Tn＝b1＋b2＋……＋bn＝2×2＋3×1＋4× EQ \f(1,2)＋……＋(n＋1)×2 ∴ EQ \f(1,2) Tn＝ 2×1＋3× EQ \f(1,2)＋……＋n×23－n＋(n＋1)×2, 作差得： EQ \f(1,2) Tn＝2×2＋1＋ EQ \f(1,2)＋ EQ \f(1,4)＋……＋23－n－(n＋1)2＝6－ EQ \f(n＋3,2n－1) ∴Tn＝12－ EQ \f(n＋3,2n－2)(n∈N*) （Ⅲ）证明： 题三：证明：（Ⅰ）令， 则无穷数列{an}可由a1 = 1，给出.显然，该数列满足，且 （Ⅱ） 又 题四： 详解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。， （2）， ① ② ②—①得，即③ ④ ④—③得，即 所以数列是等差数列 （3） 设，则 题五： 详解：（Ⅰ），，， 又，是以为首项，为公比的等比数列．，． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 原不等式成立． （Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的，有 ． 取， 则． 原不等式成立． 题六： 详解：是等比数列,则 应为常数，得=2或=－3 当=2时，可得为首项是 ，公比为3的等比数列， 则 ① 当=－3时，为首项是，公比为－2的等比数列， ∴ ② ①－②得， （注：也可由①利用待定系数或同除2n+1得通项公式） （Ⅱ）当k为奇数时， ∴ （Ⅲ）由（Ⅱ）知k为奇数时， ①当n为偶数时， ②当n为奇数时， =