【高中数学】课后练习第18、19讲 代数不等式 数列的生成函数.docVIP

第18讲 代数不等式 设a，b，c为正实数，求证：eq \f(1,a3)＋eq \f(1,b3)＋eq \f(1,c3)＋abc≥2eq \r(3)． 已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac． 已知a，b，c均为正实数，且ab＋bc＋ca＝1． 求证：(1)a＋b＋c≥eq \r(3)；(2) eq \r(\f(a,bc))＋eq \r(\f(b,ac))＋eq \r(\f(c,ab))≥eq \r(3)(eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c))． 已知实数满足，，试求的最值． 已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且eq \f(1,a)＋eq \f(1,2b)＋eq \f(1,3c)＝m，求a＋2b＋3c的最小值． 已知正数满足． （1）求证：；（2）求的最小值． 第19讲 数列的生成函数 已知数列中，各项都是正数，且满足：，． 证明：． 数列中，， (为常数，) ， 且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）证明：； （Ⅲ）比较与的大小，并加以证明． 已知数列对任意的满足:，则称为“Z数列”． (1)求证：任何的等差数列不可能是“Z数列”； (2)已知正数列，若数列是“Z数列”，数列是否可能是等比数列，说明理由，构造一个数列，使得是“Z数列”； (3)若数列是“Z数列”，设求证． 已知函数对任意的实数 (1)，n∈N*，，设且为等比数列，求的值； (2)在(1)的条件下，设 证明： (i) 对任意的，； (ii) ，． 已知数列满足， EQ ． (Ⅰ)求证：；(Ⅱ)求证：． 对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质”：①；②存在实数,使得成立． (1)数列、中，、()，判断、是否具有“性质”； (2)若各项为正数的等比数列的前项和为，且,，求证：数列具有“性质”； (3)数列的通项公式()．对于任意且，数列具有“性质”，求实数的取值范围． 第18讲 代数不等式 见详解． 详解：因为a，b，c为正实数，由均值不等式可得 eq \f(1,a3)＋eq \f(1,b3)＋eq \f(1,c3)≥3eq \r(3,\f(1,a3)·\f(1,b3)·\f(1,c3))，即eq \f(1,a3)＋eq \f(1,b3)＋eq \f(1,c3)≥eq \f(3,abc)． 所以eq \f(1,a3)＋eq \f(1,b3)＋eq \f(1,c3)＋abc≥eq \f(3,abc)＋abc．而eq \f(3,abc)＋abc≥2 eq \r(\f(3,abc)·abc)＝2eq \r(3)． 所以eq \f(1,a3)＋eq \f(1,b3)＋eq \f(1,c3)＋abc≥2eq \r(3)． 见详解． 详解：∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac ∴2a2＋2b2＋2c2≥2ab＋2bc＋ ∴3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)(a＋b＋c)2． 由a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3ab＋3bc＋3 ∴(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ac)．∴eq \f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac． 综上所述，a2＋b2＋c2≥eq \f(1,3)(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ac，命题得证． 见详解． 详解：(1)要证明a＋b＋c≥eq \r(3)， ∵a，b，c为正实数，∴只需证明(a＋b＋c)2≥3， 即证明a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac≥3．又ab＋bc＋ac ∴只需证明a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac． 上式可由ab＋bc＋ca≤eq \f(a2＋b2,2)＋eq \f(b2＋c2,2)＋eq \f(c2＋a2,2)＝a2＋b2＋c2证得， ∴原不等式成立． (2)∵ eq \r(\f(a,bc))＋ eq \r(\f(b,ac))＋ eq \r(\f(c,ab))＝eq \f(a＋b＋c,\r(abc))． 又由(1)已证a＋b＋c≥eq \r(3)， ∴原不等式只需证明eq \f(1,\r(abc))≥eq \r(a)＋eq \r(b)＋eq \r(c)， 即证明aeq \r(bc)＋beq \r(ac)＋ceq \r(ab)≤ab＋bc＋ca． 而aeq \r(bc)＝eq \r(ab·ac)≤eq \f(ab＋ac,2)，beq \r(ac)≤eq \f(ab＋bc,2)，ceq \r(ab)≤eq \f(ac＋bc,2)． ∴aeq \r(bc)＋beq \r(ac)＋ceq \r(ab)≤ab＋bc＋c