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2017年全国高中数学联赛江西省预赛试题 2017年5月21日上午 一、填空题（每题10分，共80分） 、化简… ． 、若，则 ． 、体积为1的正四面体被放置于一个正方体中，则此正方体体积的最小值是 ． 、若椭圆的一个顶点关于它的一个焦点的对称点恰好在其准线上，则椭圆的离心率 ． 、函数的最小值是 ． 、设…，则 … ． 、将全体真分数排成这样的一个数列：…，排序方法是：自左至右，先将分母按自小到大排列，对于分母相同的分数，再按分子自小到大排列，则其第2017项 ． 、将各位数字和为10的全体正整数按自小到大的顺序排成一个数列，若，则 ． 二、解答题（共70分） 、（本题满分15分）数列，满足：，，． 证明：（1）、，；（2）、． 、（本题满分15分）若小于2017的三个互异正整数，，使得，，均是2017的倍数；证明：必是的倍数． 、（本题满分20分）设=｛，，，…｝是由全体正整数的平方所构成的集合；如果数能够表示为集合中若干个（至少一个）互异元素的代数和，则称数具有结构．证明：每个自然数都具有结构． 、（本题满分20分）如图，⊙，⊙相交于，两点，是经过点的一条线段，其中，点，分别在⊙、⊙上，过线段上的任意一点，作，，点，分别在，上，又向形外方向，作，，其中在⊙上，在⊙上；证明：． .. 2017年江西预赛第6页
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