2017年全国高中数学联赛模拟试题02_图文模板.docVIP

2017全国高中数学联赛模拟试题02 填空题（每小题8分，共64分） 在如下图所示的正方体中， 二面角等于 （用反三角函数表示） 如果三角形的三个内角满足 依次成等差数列，则角的最大值是 3.实数列满足条件：， 则通项公式 。 4.是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，如果的面积为1，则 5.在同一直角坐标系中，函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是 6. 已知正实数与非负实数满足(1) ; (2) ，则 的最大值为__________． 7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品， 砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克． 8.设是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积是 简答题（本大题共3小题，共56分） （16分）设数列的前项和组成的数列满足 ，已知求数列的通项公式。 （20分）设是多项式方程的三个根。 （1）已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分； （2）证明： （20分）如下图，椭圆是椭圆上的两点，直线是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点， 求证：三条直线和共点。 2017全国高中数学联赛模拟试题02 填空题（每小题8分，共64分） 1.在如下图所示的正方体中，二面角等于 解： 2.如果三角形的三个内角满足依次成等差数列，则角的最大值是 解：.记，则.由于至多一个负数，故， 且.即.消去后，得到，方程有实根， 所以，故即且时等号成立 3.实数列满足条件：，则 解：.计算前几项可以猜出结果，再用数学归纳法可以证明. 4.是椭圆的两个焦点，为椭圆上任意一点，如果的面积为1，则 解：.不妨假定设.则的斜率为，的斜率为，因此，解得又，所以， 点.从而，所以 5.设是定义在区间上的函数，则函数的图像与轴所围成图形的面积是 6. 已知正实数与非负实数满足(1) ; (2) ，则 的最大值为__________． 解：.由均值不等式知: , 于是 , 即. 取满足条件,且取到最大值. 7. 已知20块质量为整数克的砝码可称出克的物品，砝码只能放在天平一端，则最大砝码质量最小值为________________克． 解：147.设这20块砝码质量为.首先用归纳法证明: .（1）当时,显然, （2）设结论对成立，若，则由知克的物品无法称量，矛盾！于是，， 所以，所以，即，又当，时，符合条件，故最小值为 147克． 8.在同一直角坐标系中，函数与其反函数的图像恰有三个不同的交点，则实数的取值范围是 简答题（本大题共3小题，共56分） 9.（16分）设数列的前项和组成的数列满足 ，已知求数列的通项公式。 10.（20分）设是多项式方程的三个根。（1）已知都落在区间之中，求这三个根的整数部分；（2）证明： 11.（20分）如下图，椭圆是椭圆上的两点，直线是上的一个动点，是过点且与相切的直线，分别是直线与，与，与的交点， 求证：三条直线和共点。 解答三：利用赛瓦定理 2015全国高中数学联赛模拟试题02 一（本题满分40分） 对任意实数，定义运算“”为：．在直角坐标系中， 设点集，求所对应的平面区域的面积． 二（本题满分40分） 如图，在中，，为的垂心，M为边BC的中点，点在边上且满足，点在直线上的射影为.证明：的外接圆与的外接圆相切. 三（本题满分50分） 整数满足.求的最小值, 并求出一切达到最小值的四元数组 四（本题满分50分） 设整数,，，对，记为满足，，的数组的个数，类似定义，. 证明：. 2015全国高中数学联赛模拟试题02 一（本题满分40分） 对任意实数，定义运算“”为：．在直角坐标系中， 设点集，求所对应的平面区域的面积． 解：根据运算“”的定义，为整数，进而 ， ① 其中表示的小数部分．同理可知 ． ② 比较①、②可知，当且仅当 ． 由于，而与均是偶数，故上式成立的充分必要条件是 ，且． ③ 若，则，． 若，则，． 若，则，． 当取自、、中不同的区间时，③不成立． 对，记，则根据上述讨论知，所对应的平面区域面积 ， 因此点集所对应的平面区域面积为． 二（本题满分40分） 如图，在中，，为的垂心，M为边BC的中点，点在边上且满足，点在直线上的射影为.证明：的外接圆与的外接圆相切. 证明：联接并延长交的外接圆于点，作与的外接圆交于点，易知关于对称，故,因此，由此推出，故为外接圆的直径.又由，结合知四边形为平行四边形，所以过点.设为在上的射影，延长