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2017年全国高中数学联赛模拟试题05 第一试 （时间：8:00-9:20 满分：120） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.函数的值域是 2.函数在中的零点个数为 3.设是平面上的两点,是关于的对称点,是关于的对称点,, 若,则 4.设动点,其中参数,则线段扫过的平面区域的面积是 5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是 6.一个球外接于四面体，另一半径为1的球与平面相切，且两球内切于点，已知, ，则四面体的体积为 8. 用表示非空整数集S中所有元素的和，设是正整数集， 且，若对每个正整数，存在A的子集S，使得， 则满足上述要求的的最小值为 ． 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9. （本小题满分16分）已知是正实数,求证: 10. （本小题满分20分）设是不同的正实数. 证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有 11. （本小题满分20分）已知直线与椭圆C：交于两点，过椭圆C的右焦点、倾斜角为的直线交弦于点，交椭圆于点．（1）用表示四边形的面积； （2）求四边形的面积取到最大值时直线的方程． 2017年全国高中数学联赛模拟试题05 加试 （时间：9:40-12:10 满分：180） 一、（本小题满分40分）如图，的外心为，是的中点，直线交于，点分别是的外心与内心，若，证明：为直角三角形. 二、（本小题满分40分） 对给定的自然数与，＜，任意一个由个连续整数组成的集合都含有两个不同的数，它们的乘积能被整除． 三、（本小题满分50分） 求证：数列的每一项都是整数，但都不是3的倍数 四、（本小题满分50分） 圆周上有个点，用弦两两连结起来，其中任何3条弦都不在圆内共点，求由此形成的互不重叠的圆内区域的个数． 2017年全国高中数学联赛模拟试题05 第一试参考解答 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1.函数的值域是 解：由(1)时,该方程有解(2)时,因为,所以所以, 且综合(1)(2) ,故答案为 法二：,令,则 ,故该函数的值域为 法三：(1)时, (2)时,,因为 所以或所以 或所以,且 即且所以, 且 综合(1)(2) ,故答案为 法四：求导,该函数在区间及上单调递增,在区间上单调递减,计算即得答案为 2.函数在中的零点个数为 解: 由于 所以,在上的零点个数即是因为的最小正周期为,故之间函数的图象有1007个周期,每个周期有两个零点,考虑到两个端点为闭区间,故答案为2015 3.设是平面上的两点,是关于的对称点,是关于的对称点,,若,则 解:设点对应的复数为由题意: 所以, 所以, 所以,,所以, 4.设动点,其中参数,则线段扫过的平面区域的面积是 解:直线的方程为,时,直线方程为,时,直线方程为,故不妨设,直线方程为,对每个,当变化时 ,所以,线段扫过的平面区域是函数及直线围成的封闭图形,由积分的几何意义,故答案为 5.从正十二边形的顶点中取出4个顶点,它们两两不相邻的概率是 解:将这十二个点依次标为,从十二个点中取4个点的方法数为,取出的四个点两两不相邻的包含以下两类,(1)如果不取点,则从这11个点中取4个点,两两不相邻,则方法数为(相当于把4个点插到7个点中(2)如果取点,由于不能取,故从这9个点中取三个点,两两不相邻,方法数为(相当于把三个点插到6个点中)故所求概率为 6.一个球外接于四面体，另一半径为1的球与平面相切，且两球内切于点，已知, ，则四面体的体积为 8. 用表示非空整数集S中所有元素的和，设是正整数集，且，若对每个正整数，存在A的子集S，使得，则满足上述要求的的最小值为 ． 8.解：令若则不存在，使 所以 （1）又由题设得 ，于是由（1）及归纳法易得 若，则（否则750无法用表示出），所以 又于是，所以 另一方面，令 当时，可找到，使 当时，存在，使 当时，存在，使 当时，存在，使于是，的最小值为248。 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9.已知是正实数,求证: 证明:由于 所以, 所以, 即 法二:令 所以, 法三、不妨设,可将不等式化为,证明过程略 10. （本小题满分20分）设是不同的正实数. 证明：是一个等比数列的充分必要条件是：对所有整数，都有 10.必要性：若是一个等比数列，设，则 ＝. 充分性：当n＝2时，两