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2017年全国高中数学联赛模拟试题16 第一试 （时间：8:00-9:20 满分：120） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数，若实数使方程有实根，则的最小值是 2．在正三棱台中，上底面积，下底面积．若底边到截面的距离等于三棱台的高，则 3．从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种 4．已知，且，若，则的取值范围是 ． 5． 函数的最小值为 6．设，则数列的通项公式为 7．如图，设分别是两个同心圆（半径分别为）上的动点．当分别在圆上运动时，线段的中点所形成的区域面积为 8．设且，则的最大值为 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9.（本小题满分16分）. 设复数满足．证明：． 10.（本小题满分20分） 给定整数，设，其中,满足 求出所有满足条件的函数． 11.（本小题满分20分） 给定椭圆及点． （1）求的值使得对于椭圆的左顶点，存在椭圆上的另两点，满足以为圆心、为半径的圆是的内切圆； （2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点，使得是的内切圆，并确定此时直线的方程． 2017年全国高中数学联赛模拟试题16 加试 （时间：9:40-12:10 满分：180） 一、（本小题满分40分） 已知的内心为，的内切圆切边于点，的内心分别是，的外心为． 求证：三点共线． 二、（本小题满分40分） 设且．求证： 三、（本小题满分50分） 已知正整数满足． 令 对任意，记，其中表示不超过的最大整数，表示集合中元素的个数． 证明：（1）；（2） 四、（本小题满分50分） 某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（依次编号为1,2，…，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应2014年）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数． 2017年全国高中数学联赛模拟试题16 第一试参考解答 （时间：8:00-9:20 满分：120） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．已知函数，若实数使方程有实根，则的最小值是 2．在正三棱台中，上底面积，下底面积．若底边到截面的距离等于三棱台的高，则 3．从中取出三个不同的数，使得其不能组成一个三角形的三边长的不同取法有 种 4．已知，且，若，则的取值范围是 ． 5． 函数的最小值为 6．设，则数列的通项公式为 7．如图，设分别是两个同心圆（半径分别为）上的动点．当分别在圆上运动时，线段的中点所形成的区域面积为 8．设且，则的最大值为 二、解答题：本大题共3小题，共56分. 9．设复数满足．证明：． 10．给定整数，设，其中,满足 求出所有满足条件的函数． 11．给定椭圆及点． （1）求的值使得对于椭圆的左顶点，存在椭圆上的另两点，满足以为圆心、为半径的圆是的内切圆； （2）证明：对于椭圆的下顶点，也存在椭圆上的另两点，使得是的内切圆，并确定此时直线的方程． 2017年全国高中数学联赛模拟试题16 加试参考解答 （时间：9:40-12:10 满分：180） 一、（本小题满分40分） 已知的内心为，的内切圆切边于点，的内心分别是，的外心为． 求证：三点共线． 证明：设分别切边于点，的内切圆切于点，的内切圆切于点，则， 同理．从而重合，所以． 因为的外心为， 所以． 从而， 所以三点共线． 二、（本小题满分40分） 设且．求证： 三、（本小题满分50分） 已知正整数满足． 令 对任意，记，其中表示不超过的最大整数，表示集合中元素的个数． 证明：（1）；（2） 四、（本小题满分50分） 某国建了一座时间机器，形似一条圆形地铁轨道，其上均匀设置了2014个站台（依次编号为1,2，…，2014）分别对应一个年份，起始站及终点站均为第一站（对应2014年）．为节约成本，机器每次运行一圈，只在其中一半的站台停靠．出于技术原因，每次至多行驶三站必须停靠依次，且所停靠的任两个站台不能是圆形轨道的对径点．试求不同停靠方式的种数． ..