2017年全国高中数学联赛模拟试题19模板.docVIP

2017年全国高中数学联赛模拟试题19 第一试 （时间：8:00-9:20 满分：120） 一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分. 1．随机抛掷3颗大小、质地相同的正方体骰子．在3颗骰子所示数字中最小值是3的概率是 ． 解：所有骰子所示点数至少是3的概率为( EQ \F(4,6))3，所有骰子中所示点数至少是4的概率为( EQ \F(3,6))3． 所以3颗骰子所示数字中最小值恰为3的概率是( EQ \F(4,6))3－( EQ \F(3,6))3＝ EQ \F(37,216)． 2．关于x的方程x2―2ax＋a2―4a＝0有模为3的虚数根，则实数a的值是 ． 解：由题(x－a)2＝4a＜0，所以x＝a―2 eq \r(－a )i，又|x|2＝ a2―4a＝9，即有a―2＝± eq \r(13 )，因为a＜0，所以a＝2― eq \r(13 )． 3．已知正项数列{an}的首项为1，且对于一切正整数n都有an(nan－an＋1)＝(n＋1)a eq \o\al(\s\up4(2),\s\do3(n＋1))，则数列的通项公式an＝ 　 ． 解：根据an(nan－an＋1)＝(n＋1)a eq \o\al(\s\up4(2),\s\do3(n＋1))，写出a2，a3，a4，可归纳出an＝ eq \f(1,n)． 也可以变形为(an＋1＋an)[(n＋1)an＋1－nan)]＝0， 由an＋1＋an≠0，得(n＋1)an＋1＝nan＝…＝a1＝1，所以an＝ eq \f(1,n)． 4．设以F1(－1，0)、F2(1，0) 为焦点的椭圆的离心率为e，以F1为顶点、F2为焦点的抛物线与椭圆的一个交点是P．若 eq \f(|PF1|,|PF2|)＝e，则e的值为 ． 解：在抛物线中，p＝4，准线x＝－3，|PF2| 是P到准线的距离． 椭圆中， eq \f(|PF1|,|PF2|)＝e，|PF2|也是P到左准线的距离，则抛物线准线与椭圆的准线重合， 所以 eq \f(a2,c)＝3．因为c＝1，故e＝ eq \f(\r(3),3)． 5．设实数a，b满足0≤a，b≤8，且b2＝16＋a2，则b－a的最大值与最小值之和是 ． 解：由题设可知，b2＝16＋a2，则b－a＝ EQ \F(b2－a2,b＋a)＝ EQ \F(16, \r (a2＋16)＋a)． 记f(a)＝ EQ \F(16, \r (a2＋16)＋a)，则函数f(a)单调递减． 由0≤a，b≤8，得16＋a2≤64，解得0≤a≤4 eq \r(3)． 所以b－a的最小值为f(4 eq \r(3))＝8－4 EQ \r(3)，b－a的最大值为f(0)＝4， 从而b－a的最大值与最小值之和为12－4 EQ \r(3)． 6．函数f(x)＝2cosx＋sin2x (x∈R)的值域是 ． 解：[f(x)]2＝(2cosx＋sin2x)2＝4cos2x(1＋sinx)2＝ eq \f(4,3)(3－3sinx)(1＋sinx)3 ≤ eq \f(4,3)×[ eq \f((3－3sinx)＋(1＋sinx)＋(1＋sinx)＋(1＋sinx),4)]4＝ eq \f(27,4)， 当且仅当3－3sinx＝1＋sinx，即sinx＝ eq \f(1,2)时，等号成立． 从而当sinx＝ eq \f(1,2)，cosx＝ eq \f( eq \r(3),2)，f(x)取得最大值为 eq \f(3 eq \r(3),2)， 当sinx＝ eq \f(1,2)，cosx＝－ eq \f( eq \r(3),2)，f(x)取得最小值为－ eq \f(3 eq \r(3),2)． 所以函数f(x)＝2cosx＋sin2x (x∈R)的值域是[－ eq \f(3 eq \r(3),2)， eq \f(3 eq \r(3),2)]． 7．正四棱锥P－ABCD外接于一个半径为1的球面，若球心到四棱锥各个面的距离相等，则此四棱锥的底面面积为 ． 解：设四棱锥的底面边长为a，则球心到底面的距离为 EQ \r(1－ EQ \F(1,2)a2)． 由 EQ \F( EQ \r(1－ EQ \F(1,2)a2), EQ \F(a,2))＝ EQ \F( EQ \F( EQ \r(,2)a,2),1＋ EQ \r(1－ EQ \F(1,2)a2))，解得：a2＝4 eq \r(2)－4，即四棱锥的底面面积为4 eq \r(2)－4． 8．已知△ABC的外心为O，内心为I，∠B＝45°．若OI∥BC，则cosC的值是 ． 解：设△ABC的外接圆半径 和