第五章 分方程模型.docVIP

延 边 大 学 教 案 周 次 第 7 周， 第 1 次课 章 节 名 称 第5章 微分方程模型 5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 授 课 方 式 多媒体授课 教　学 时　数 2 教学 目的 要求 通过建模案例，让学生掌握数学建模的微分方程法，让学生了解本章的动态模型主要是非物理领域的实际问题，要根据建模目的，分析具体问题情况或进行类比才能给出假设条件。不同的假设，就得到不同的方程，所以是事先没有答案的。求解结果还要用来解释实际现象并接受检验。 教学 重点 难点 重点：5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 难点：5.1 传染病模型 5.2 经济增长模型 5.3 正规战与游击战 5.4 药物在体内的分布与排除 5.5 香烟过滤嘴的作用 教学 方法 手段 多媒体演示 讨论 推演 教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业 备 注 如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型. §1 传 染 病 模 型 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题. 考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位. 一. SI 模 型 假设条件： 1、人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两类人，简称为健康人和病人，在时刻这两类人在总人数中所占比例分别记作和. 教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业 备 注 2、每个病人每天有效接触的平均人数是(常数)，称为日接触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人. 试建立描述变化的数学模型. 解： 由假设2知，每个病人每天可使个健康者变为病人，又由于病人数为，每天共有个健康人被感染. 于是就是病人数的增加率，即有 ………………………………………………(1) 而. 又记初始时刻()病人的比例为，则 这就是Logistic模型，其解为 ［结果分析］ 作出和的图形如下： 教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业 备 注 当时，取到最大值，此时刻为 当时，即所有人终将被传染，全变为病人（这是不实际的）. 二. SIS 模 型 在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS模型. 假设1、2同SI模型，增加假设: 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为，称为日治愈率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然是这种传染病的平均传染期. 解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为 于是 解得 ［结果分析］1.令. 教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业 备 注 注意到和的含义，可知是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数. 2.接触数是一个阈值. 当时，病人比例越来越小，最终趋于零. 当时，的增减性取决于的大小，其极限值. 3.SI模型是SIS模型中的情形. 三. SIR 模 型 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为 1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR模型.三类人在总人数中占的比例分别记作、和. 病人的日接解率为，日治愈率为（与SIS模型相同），传染期接触数为. 解：由假设1，有 教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业 备 注 由假设2，得 　　又设 于是 ……………………………………………(2) 我们在相平面上来讨论解的性质. 相轨线的定义域为 由(2)式消去，得 这里　 解得………………………………………(3) 在定义域内，(3)式表示的曲线即为相轨线. 教学基本内容、过程、学时分配；课堂讨论、练习、作业 备 注 §3 正规战与游击战 此战争模型是第一次世界大战期间.F.W.Lanchester提出来的，是一个预测战争结局的数学模型，它包括正规战争、游击战争和混合战争. Lanchester战争模型很简单，只考虑双方兵力的多少和战斗力的强弱，兵力因战争减员和非战斗减员而减少，又由后备力量的增援而增加，战斗力即杀伤对方的能