06§2-1二.函数的单调性和奇偶性.docVIP

§2-1函数的概念与性质 二.函数的单调性和奇偶性 2.1.61★★下列函数中,在[1,+()上为增函数的是______.(A)y=(x-2)2 (B)y=|x-1| (C)y= (D)y=-(x+1)2解析:函数y=(x-2)2在(-(,2)上单调递减,在(2,+()上单调递增;函数y=|x-1|在(-(,1)上单调递减,在(1,+()上单调递增;函数y=在(-(,-1),(-1,+()上单调递减;函数y=-(x+1)2在(-(,-1)上单调递增,在(-1,+()上单调递减,答案为B. 2.1.62★★函数f(x)=x|x|-2x是______.(A)偶函数,且在(-1,1)上是增函数 (B)奇函数,且在(-1,1)上是减函数(C)偶函数,且在(-1,1)上是减函数 (D)奇函数,且在(-1,1)上是增函数 解析:f(-x)=-x|-x|-2(-x)=-(x|x|-2x)=-f(x),所以,函数f(x)是奇函数.若x(0,则f(x)=x2-2x=(x-1)2-1,在(0,1)上函数f(x)单调递减,又由f(x)是奇函数可得它在(-1,1)上单调递减,答案为B. 2.1.63★★若函数f(x)=(2k+1)x+b在(-(,+()上是减函数,则k的取值范围是______.解析:由已知得2k+10,所以,k的取值范围是k-. 2.1.64★★已知函数f(x)=x2+2(a-2)x+5在区间(4,+()上是增函数,则实数a的取值范围是______.解析:函数f(x)=[x+(a-2)]2+5-(a-2)2在(4,+()上是增函数,则-(a-2)(4,所以,a的取值范围是a(-2. 2.1.65★★若函数f(x)=在(-2,+()上单调递增,则a的取值范围是______.解析:f(x)=,即f(x)=a+在(-2,+()上单调递增,则1-2a0,所以,a的取值范围是a. 2.1.66★★函数f(x)=-的单调递增区间是______.解析:函数f(x)的定义域是(0,+(),而在(0,+()上函数f1(x)=和f2(x)=-都单调递增,所以,函数f(x)=-的单调递增区间是(0,+(). 2.1.67★★指出下列函数的奇偶性并证明结论:(1)f(x)=+1:______;(2)G(x)=[f(x)-f(-x)](-axa,其中常数a0):______;(3)f(x)=:______; (4)f(x)=:______.解析:(1)f(-x)=+1=+1=f(x),所以,函数f(x)=+1是偶函数;(2)G(-x)=[f(-x)-f(x)]=-[f(x)-f(-x)]=-G(x),所以,函数G(x)=[f(x)-f(-x)](-axa,其中常数a0)是奇函数;(3)f(-x)==-f(x),所以,函数f(x)=是奇函数;(4)函数f(x)=的定义域是{x|x(1,x(R},而f(-1)=1,所以,函数f(x)=既不是奇函数,也不是偶函数. 2.1.68★★求证:函数f(x)=是奇函数.解析:f(x)===,此函数的定义域是{x|x(0,x(R},并且f(-x)=-f(x),所以,它是奇函数. 2.1.69★★设函数f(x)=x+(a0).(1)求证:函数f(x)在(,+()上单调递增;(2)若函数f(x)在(a-2,+()上单调递增,求a的取值范围.解析:(1)设x1x2,则f(x1)-f(x2)=(x1+)-(x2+)=,于是,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),所以,函数f(x)在(,+()上单调递增.(2)由问题(1)的结论可得a-2(,即(+1)(-2)(0,所以,a的取值范围是a(4. 2.1.70★★★已知函数f(x)的定义域是一个无限集,那么,在定义域中存在无穷多个实数 x使得f(-x)=f(x)成立是f(x)为偶函数的______.(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件解析:由偶函数的概念可知答案为B. 2.1.71★★★★已知函数y=f(x)是偶函数,其图像与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和为______.(A)4 (B)2 (C)1 (D)0解析:设x0是方程f(x)=0的一个根,则f(-x0)=f(x0)=0,-x0也是方程f(x)=0的根,所以, 方程f(x)=0的四个实根之和是0,答案为D. 2.1.72★★★★函数f(x)=______.(A)是奇函数,但不是偶函数 (B)是偶函数,但不是奇函数(C)既是奇函数,又是偶函数 (D)既不是奇函数,也不是偶函数解析:对于任意的x({x|x(0,x(R},若x0,则-x0,于是f(-x)