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二次函数的系数、性质、最值
教 学 内 容 教学过程设计 板块一 【本讲重、难点】
1. 二次函数的性质与a、b、c之间的关系。
2. 确定函数的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 (为常数,)的函数称为的二次函数,其中为自变量,为因变量,分别为二次函数的二次项、一次项和常数项系数.
2. 二次函数的性质:
(1) 抛物线的顶点是坐标原点(0,0),对称轴是( 轴).
(2) 函数的图像与的符号关系.
① 当时抛物线开口向上顶点为其最低点;
② 当时抛物线开口向下顶点为其最高点.
3. 二次函数的性质:
若二次函数解析式为(或)(),则:
(1) 开口方向:,
(2) 对称轴:(或),
(3) 顶点坐标:(或),
(4) 最值:
时有最小值(或)(如图1);
时有最大值(或)(如图2);
(5)单调性:二次函数()的变化情况(增减性)
① 如图1所示,当a0时,对称轴左侧,y随着x的增大而减小,在对称轴的右侧 ,y随x的增大而增大;
② 如图2所示,当a0时,对称轴左侧, y随着x的增大而增大,在对称轴的右侧,y随x的增大而减小;
(6)与坐标轴的交点:①与轴的交点:(0,C);②与轴的交点:使方程(或)成立的值.
4. 二次函数图像与系数关系:
① 决定抛物线的开口方向:
当时抛物线开口向上;当时抛物线开口向下
决定抛物线的开口大小:
越大,抛物线开口越小; 越小,抛物线开口越大.
注:几条抛物线的解析式中,若相等,则其形状相同,即若相等,则开口及形状相同,若互为相反数,则形状相同、开口相反.
② 和共同决定抛物线对称轴的位置.(对称轴为:)
当时,抛物线的对称轴为轴;
当同号时,对称轴在轴的左侧;
当异号时,对称轴在轴的右侧.③ C的大小决定抛物线与轴交点的位置.(抛物线与轴的交点为)
当时,抛物线与轴的交点为原点;
当时,交点在轴的正半轴;
当时,交点在轴的负半轴.
板块四 【知识框架】
板块五.【精选例题】
(一) 对函数定义的考查
【例1】 下列函数中,哪些是二次函数?并指出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项,并画出函数的图像。
(1) (2)
(3) (4)
(5)
解析:(1) 二次项系数为1,一次项系数和常数项为0.
(2)虽然次数为2,但x位于分母位置,所以不是二次函数。
(3)二次项系数为2,一次项系数为-1,常数项为-1.
(4)
二次项系数为-1,一次项系数为1,常数项为0.
(5)将括号展开,二次项消去,所以不是二次函数。
画图略。
【例2】若函数为二次函数,则m的值为
解析:
∴ m=2
(二)二次函数开口方向、对称轴、顶点及最值
【例3】 (09四川内江)抛物线的顶点坐标是( )
A.(2,3) B.(-2,3) C.(2,-3) D.(-2,-3)
解析:由顶点公式可得顶点坐标为(2,3)。 所以选 A。
【例4】(09衢州)二次函数的图象上最低点的坐标是 ( )
A.(-1,-2) B.(1,-2) C.(-1,2) D.(1,2)
解析:考察顶点与极值之间的关系,极值点的坐标即为顶点坐标。所以选 B。
【例5】(09广州)二次函数的最小值是( )
A. 2 B. 1 C. -1 D. -2
解析:考察顶点坐标与极值间的关系,函数在顶点出取得极值,当x=1时,函数有最小值 2. 所以选A.
【例6】(09南充)抛物线的对称轴是直线( )
A. B. C. D.
解析:考察二次函数的对称轴。先把抛物线解析式化为一般式,由二次函数对称轴公式可得
x=1. 所以选 A。
【例7】抛物线的开口_________,当x________时,其y随x的增大而增大.
解析:考察开口方向及增长性。二次函数的二次项系数为小于0,所以函数的图像开口向下;函数的对称轴为x=3,由函数的增长性可知当x<3时,y随x的增大而增大。
【例8】(08山东潍坊)若一次函数的图像过第一、三、四象限,则函数( )
A.有最大值 B..有最大值 C.有最小值 D.有最小值
解析:考察函数图像与系数之间的关系及函数的极值。由一次函数的图像的位置关系可判断出即-1<m<0,所以二次函数的图像开口向下,函数有最大值,由可得,当时,函数有最大值,所以选 B。
【例9】(09新疆)如图,直角坐标系中,两条抛物线有相同的对称轴,下列关系不正确的是(
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