有理式因式分解.pptVIP

④ x2 – x6 = x2 – (x3)2 = (x+x3)(x–x3) = x·(1+x2)·x·(1–x2) = x2(1+x2)(1+x)(1–x) ④ x2 – x6 = x2 (1–x4) = x2 (1+x2)(1–x2) = x2 (1+x2)(1+x)(1–x) 在我们现学过的因式分解方法中，先考虑提取公因式，再考虑用公式法。 ⑤ 6x3 – 54xy2 = 6x (x2–9y2) = 6x (x+3y)(x–3y) ⑥ (x+p)2 – (x–q)2 = [ (x+p)+(x–q) ]·[ (x+p)–(x–q) ] = (2x+p–q)(p+q) Y X Y X Y X 复习回顾 还记得前面学的完全平方公式吗？ 计算： 新课引入 试计算：9992 + 1998 + 1 2×999×1 = (999+1)2 = 106 此处运用了什么公式? 完全平方公式 逆用 就像平方差公式一样，完全平方公式也可以逆用，从而进行一些简便计算与因式分解。 即： 这个公式可以用文字表述为： 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的两倍，等于这两个数的和（或差）的平方。 牛刀小试(对下列各式因式分解)： ① a2+6a+9 = _________________ ② n2–10n+25 = _______________ ③ 4t2–8t+4 = _________________ ④ 4x2–12xy+9y2 = _____________ (a+3)2 (n–5)2 4(t–1)2 (2x–3y)2 完全平方式的特点： 1、必须是三项式（或可以看成三项的） 2、有两个同号的平方项 3、有一个乘积项（等于平方项底数的±2倍） 简记口诀： 首平方，尾平方，首尾两倍在中央。 ① 16x2 + 24x + 9 ② – 4x2 + 4xy – y2 ④ 4x2 – 8xy + 4y2 = (4x+3)2 = – (4x2–4xy+y2) = – (2x–y)2 = 4 (x2–2xy+y2) = 4 (x–y)2 – 2a2 + ⑥ (p+q)2 – 12(p+q) + 36 a4 1 = (a2–1)2 = (a+1)2 (a–1)2 = [(a+1) (a–1)]2 = (p+q–6)2 X X X 知识结构 因式分解常用方法 提公因式法 公式法 十字相乘法 分组分解法 拆项添项法 配方法 待定系数法 求根法 …… 一、提公因式法 只需找到多项式中的公因式，然后用原多项式除以公因式，把所得的商与公因式相乘即可。往往与其他方法结合起来用。 提公因式法随堂练习： 1）15(m–n)+13(n–m) 2）4(x+y)+4(x–3y) 二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 接下来是一些常用的乘法公式，可以逆用进行因式分解。 常用公式 1、(a+b)(a–b)=a2–b2 （平方差公式） 2、(a±b)2=a2±2ab+b2 （完全平方公式） 3、(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc 4、a3+b3=(a+b)(a2–ab+b2) 及 a3–b3=(a–b)(a2+ab+b2) （立方和、差公式） 5、(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 （完全立方和公式） 6、(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 7、x2+y2+z2+xy+xz+yz公式推导 这是公式x2+y2+z2+xy+xz+yz的推导过程 不要与(x+y+z)2=x2+y2+z2+2xy+2xz+2yz混淆 公式法随堂练习： 1）(a2–10a+25)(a2–25) 2）x3+3x2+3x+1 二、公式法 只需发现多项式的特点，再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解，有时需和别的方法结合或多种公式结合。 三、十字相乘法① 前面出现了一个公式： (x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq 我们可以用它进行因式分解（适用于二次三项式） 例1：因式分解x2+4x+3 可以看出常数项 3 = 1×3 而一次项系数 4 = 1 + 3 ∴原式=(x+1)(x+3) 暂且称为p、q型因式分解 例2：因式分解x2–7x+10 可以看出常数项10 = (–2)×(–5) 而一次项系数 –7 = (–2) + (–5) ∴原式=(x–2)(x–5) 这个公式简单的说， 就是把常数项拆成两个数的乘积， 而这两个数的和刚好等