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例谈“等腰三角形”问题中建立方程几条途径 　　在“等腰三角形”问题中一般都要建立方程来解决问题.下面举例说明建立方程的几条途径： 　　途径一：直接利用两腰相等建立方程 　　图1例1 如图1，已知抛物线y=ax2+4a+34x+3与x轴的负半轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，当△ABC是等腰三角形时，求抛物线的解析式． 　　解 由题意得：A（-34a，0），B（-4，0），C（0，3）． 　　因为△ABC是等腰三角形，所以分三种情况讨论： 　　①当CA=CB时，不存在． 　　②当AB=AC时，抛物线的解析式为：y=67x2+11728x+3． 　　③当BA=BC时，得-4+34a=5，解得a=112． 　　所以抛物线的解析式为：y=112x2+1312x+3． 　　所以当△ABC是等腰三角形时，抛物线的解析式为y=112x2+1312x+3或y=67x2+11728x+3 ． 　　评注 因为在Rt△BCO中，根据勾股定理可求出“斜向”线段BC的长，而线段BA又可用字母a的代数式表示，所以可以由“等腰”即BA=BC直接建立关于a的方程，从而求出a的值，进而求出抛物线的解析式． 　　途径二：利用“等边对等角”和“等角对等边”建立方 　　程 　　图2例2 如图2，已知点O是等边△ABC内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD． 　　（1）△COD是等边三角形吗？为什么？ 　　（2）当α=150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由． 　　（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？简述你的理由． 　　解 （1）△COD是等边三角形.理由略． 　　（2）△AOD是直角三角形.理由略． 　　（3）由题意得∠ADO=α-60°，∠AOD=360°-110°-60°-α=190°-α.根据“三角形内角和等于180°”得∠OAD=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°． 　　因为△AOD是等腰三角形，所以分三种情况讨论： 　　①当AO=AD时，得∠AOD=∠ADO． 　　所以190°-α=α-60°.解得α=125°． 　　②当OA=OD时，得∠ODA=∠OAD． 　　所以α-60°=50°.解得α=110°． 　　③当DA=DO时，得∠DAO=∠DOA.所以190°-α=50°.解得α=140°． 　　所以当α=110°、125°、140°时，△AOD是等腰三角形． 　　评注 根据已知及可知条件和“三角形内角和等于180°”，可用字母α的代数式分别表示出△AOD的三个内角，然后利用“等边对等角”建立关于α的方程，从而求出α的值． 　　 ???　图3例3 将一块三角板放在边长为1的正方形ABCD上，并使它的直角顶点P在对角线上AC滑动，直角的一边始终经过点B，另一边与射线DC相交于点Q（图3示），设A、P两点间的距离为x． 　　（1）当点Q在边CD上时，线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证明你所观察得到的结论； 　　（2）当点Q在边CD上时，设四边形PBCQ的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的取值范围； 　　（3）当点P在线段AC上滑动时，△PQC是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PQC成为等腰三角形的点Q的位置，并求出相应的x的值；如果不可能，试验说明理由． 　　解 （1）PQ=PB.证明略． 　　（2）y=122-x2，0≤y≤1． 　　（3）△PQC可能成为等腰三角形.因为△PQC是等腰三角形， 　　所以分三种情况讨论： 　　①当PQ=PC时，点Q与点C重合，所以x=22． 　　②当QP=QC时，点Q与点D重合，所以x=0． 　　③当CQ=CP时，得∠CQP=∠CPQ=22.5°.进而得∠ABP=∠APB=67.5°.所以x=AP=AB=1，CQ=2-1． 　　所以点Q的位置分别为与点C重合、与点D重合、CQ=2-1，相应的x值分别为22、0、1． 　　评注 因为题目给出的是有关边的条件，所以当CP=CQ时，根据“等边对等角”可得到∠CQP=∠CPQ=22.5°，还建立不了关于x的方程，只有再利用“等角对等边”得到AP=AB时才建立了关于x的方程，从而求出x的值． 　　途径三：利用“等腰三角形的‘三线合一’性”建立方程 　　例4 （2011孝感）如图4，矩形ABCD的一边BC在直角坐标系中x轴上，折叠边AD，使点D落在x轴上的点F处，折痕为AE，连接OA，已知AB=8，AD=10，并设点B的坐标为（m，0），其中m＞0． 　　（1）求点E、F的坐标（用含m的式子表示）； 　　（2）若△OFA是等腰三角形，求m的值； 　　（3）如图5，设抛物线y=a(x-m-6)2+h经过A、E两点，其顶点为M.连接AM，若∠OAM=90