2017年1月北京各区高三上学期期末导数大题汇编及答案.docVIP

导数汇编 2017.1 1．14分） 设函数，，． （Ⅰ）当时，求函数在点处的切线方程； （Ⅱ）若函数有两个零点，试求的取值范围； （Ⅲ）证明． 2.DC（本小题13分） 设函数． （Ⅰ）若为的极小值，求的值； （Ⅱ）若对恒成立，求的最大值． 3.（本小题14分） 设函数，. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）求函数在上的最小值； （Ⅲ）若，求证：是函数在时单调递增的充分不必要条件. 4.HD （本小题满分14分） 已知函数． 若曲线存在斜率为的切线，求实数的取值范围； 求的单调区间； 设，求证：当时，在上存在极小值． . （本小题满分14分） 已知函数. （）求在零点处的切线方程； （）求函数的单调区间； （）若的方程恰有两个不同的，且， 求证：. ．13分） 已知函数，． （Ⅰ）在处，求的值； （Ⅱ）在区间上为增函数，求的取值范围． ．13分） 对于函数，若存在实数满足，则称为函数的一个不动点． 已知函数，其中． （Ⅰ）当时， （ⅰ）求的极值点； （ⅱ）若存在既是的极值点，又是的不动点，求的值； （Ⅱ）若有两个相异的极值点，，试问：是否存在，，使得， 均为的不动点？证明你的结论． 导数答案 2017.1 1．（本小题满分1分） 解：（Ⅰ）函数的定义域是，． 时， ，．在点处的切线方程为．．（Ⅱ）函数的定义域，由已知得． ①当时，函数只有一个零点； ②当，，当时，；当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 又，，，所以，所以，所以 取，显然且 所以，． 由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点． ③当时，由，得，或．，则．变化时，变化情况如下表： + － + ↗ ↘ ↗ 注意到，所以函数有一个零点． ，则在单调递增，函数有一个零点．若，则．变化时，变化情况如下表： + － + ↗ ↘ ↗ 注意到当时，，，所以函数有一个零点． 综上，的取值范围是 （Ⅲ）证明． 设，其定义域为，则证明即可． 因为，，，且． 又因为，所以函数在上单增． 所以有唯一的实根，且． 当时，；当时，． 所以函数的最小值为． 所以 ．所以 2.（共14分） 解：（Ⅰ）的定义域为． 因为， 所以． 因为为的极小值， 所以，即．所以． 此时，． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以在处取得极小值， 所以． ……………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知当时，在上为单调递增函数， 所以， 所以对恒成立． 因此，当时，， 对恒成立． 当时，， 所以，当时，，因为在上单调递减， 所以． 所以当时，并非对恒成立． 综上，的最大值为． ……………………………13分 3.（共14分） 解：（Ⅰ）由得. 当时，，，， 求得切线方程为 当，即时，时恒成立，单调递增， 此时. 当，即时，时恒成立，单调递减， 此时. 当，即时，时，单减； 时，单增，此时. （Ⅲ）. 当时，时，，恒成立， 函数在时单调递增，充分条件成立； 又当时，代入. 设，，则恒成 当时，单调递增. 又，当时，恒成立. 而， 当时，恒成立，函数单调递增. 必要条件不成立 综上，是函数在时单调递增的充分不必要条 4.解：（Ⅰ）由得 . 由已知曲线存在斜率为的切线 所以存在大于零的实数根， 即存在大于零的实数根， 因为在时单调递增， 所以实数的取值范围 （Ⅱ）由，，可得 当时，，所以函数的增区间为； 当时，若，，若，， 的增区间为，减区间为. （Ⅲ）由及题设得， 由可得，由(Ⅱ)可知函数在上递增 所以， 取，， ， 满足，即 存在满足， 所以在区间上的情况如下： 0 极小 所以当时，在上存在极小值. （取的特殊值不唯一，注意到），因此即可）. （本小题满分14分） （）令，得 所以，函数零点. 由得， 所以， 所以曲线在零点处的， 即. （）由函数得定义域为 令，得 所以，在区间上，；在区间上，. 故函数的，单调递减区间是. （）（）在上，在上. 由（）可知，函数在处取得极大值 所以，方程有两个不同的实根时，必有，且， 法1：所以， 由在上单调递减可知，