高考试题中与数域数环有关问题的归类.docVIP

高考试题中与数环、域有关的问题的归类 （一）问题提出的背景： 数是抽象思维的产物。在漫长的史前时代，人类已经认识了抽象的自然数。随着人类文明的进步，数的概念先后经历了多次重大的变化。首先，数的概念从实体的测量发展为抽象的存在，如从正方形对角线的测量得到脱离经验的“无理数”。其次是代数运算的需要，因减法，开方运算的需要产生了负数、无理数和负数。到了近代，“数”不再只是单个的量的表示，数系发展为一个完备化的运算系统。人们为了追求运算的无矛盾性，接受了理想的“数”，包括复数、四元数、八元数等。在20世纪，从希尔伯特到布尔巴基，结构主义的数系观占据了统治地位。 （二）数域数环的定义及性质 数环定义：设S是复数集的非空子集．如果S中的数对任意两个数的和、差、积仍属于S，则称S是一个数环． 性质1 任何数环都包含数零（即零环是最小的数环）． 性质2 设S是一个数环．若，则． 性质3 若M,N都是数环，则也是数环． 数环，如果对任意的而且, 则；则称F是一个数域． 数域性质：任何数域都包含有理数域Q。即Q是最小的数域。 常见的数域有：理数集Q、实数集R、复数集C. 著名的域还有：Klein四元域。 高考题型归类 高中与数环、域有关问题的学习，主要是体会数学思想，提高理性思维能力。我将高考试题中与数环、域有关的问题归为两类： 第一类：与复数有关的问题 对于复数的概念，高中课本中有专门的章节进行阐述，通过解方程的具体问题，感受引入复数概念的必要性，了解从实数系到复数系的的扩充过程，学习复数的一些基本知识，感受人类理性思维在数系扩充中的作用。 1、复数的概念 （1）（2007?重庆）复数的虚部为 。 分析：把复数整理变形，先变分母，再分子和分母同乘以分母的共轭复数，分子上要进行复数的乘法运算，最后写出代数形式，指出虚部。 答案： （2）（2009?陕西）已知z是纯虚数， 是实数，那么z等于（　　） A.2i B.i C.-i D.-2i 分析：设出复数z，代入 ，它的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式． 由题意得 则。有 答案：D （3）（2009?湖北）投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数为实数的概率为（　　） A. B. C. D. 分析：按多项式乘法运算法则展开，化简为的形式，虚部为0，求出m、n的关系，求出满足关系的基本事件的个数，求出概率即可．因为为实数所以，故，则可以取1、2、3、4、5、6，共6种可能， 所以, 答案：C． （4）（2009?北京）在复平面内，复数对应的点位于（　　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析：按多项式乘法运算法则展开，化简为的形式，即可确定复数z所在象限． ∴复数z所对应的点为，答案：B （5）（2008?福建）若复数是纯虚数，则实数a的值为（　　） A.1 B.2 C.1或2 D.-1 分析：注意到复数为纯虚数的充要条件是。 由得或2，且得，。答案：B． （6）（2006?上海）若复数z满足,（i为虚数单位）为纯虚数，其中,则= 。 分析：复数z的实部为0，虚部不为0，求出实数m即可，然后再求复数的模．解：若复数z满足，（i为虚数单位）为纯虚数，其中，则答案：3 复数的四则运算运算 （1）（2010?四川）i是虚数单位，计算（ ） A.-1 B.1 C.-i D.i 分析：利用复数i的幂的运算，容易得到答案．由复数性质知：，故答案：A （2）（2011?重庆）复数=（ ） A. B. C. D. 分析：利用i的幂的运算法则，化简分子，然后复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，即可． 复数 答案：C （3）（2011?浙江）把复数z的共轭复数记作 ,i为虚数单位．若，则 =（ ） A. B. C. D.3 分析：求出，然后代入，利用复数的运算法则展开化简为：的形式，即可得到答案． 复数为虚数单位，则。。 答案：A （4）（2011?辽宁）a为正实数，i为虚数单位， 则a=（　　） A.2 B.3 C.2 D.1 分析：根据复数的运算法则，我们易将 化为的形式，再根据 我们易构造一个关于a的方程，解方程即可得到a的值． 即，由a为正实数，解得。 答案：B （5）（2011?湖北）i为虚数单位，则=（ ） A.-i B.-1 C.i D.1 分析：