应用数学基础(下册)第十六章一元函数积分学（可编辑）.docVIP

应用数学基础(下册)第十六章一元函数积分学 第十六章 一元函数积分学 第十六章 一元函数积分学第一节 不定积分的概念与性质第二节 不定积分法第三节 定积分的概念与性质第四节 牛顿-莱布尼兹公式第五节 定积分的换元法与分部积分法第六节 广义积分第七节 数学实验四 用Mathematica计算积分第十六章 一元函数积分学 第十六章 一元函数积分学 微分和积分是高等数学中的两大基本运算.微分的基本 问题是:已知一个函数,求它的导数.但是,在许多实际问 题中往往会遇到反问题:已知一个函数的导数,求原来的 函数.由此产生了积分学.积分学包括不定积分和定积分 两大部分.第一节 不定积分的概念与性质 第一节 不定积分的概念与性质 一、原函数 在物理学中,质点沿直线运动时,应根据实际问题的要求分 为两个方面讨论.一方面是已知路程函数 ss t,求质点运动的 速度 vv t,这个问题已在微分学中解决了, vs t;另一个方面 已知质点作直线运动的速度 vv t,求路程函数 ss t,这个相反 过程,从数学的角度来看,它的实质是:已知函数 vv t,求一个 函数 ss t使得 s tv t.类似这类问题,在数学上就抽象出了原 函数的概念定义1 设函数 F x与 f x定义在同一区间内,并且对该区间 内任一点,都有 F xf x或 d F xf x d x.那么函数 F x就称 为函数 f x在该区间内的原函数 定理1 原函数族定理如果函数f x在某区间内有一个原函 数F x,那么它在该区间内就有无限多个原函数,并且原函数, 并且原函数的全体由形如F xc的函数组成其中 c是任意常数 因为[ F xc]F xf x,所以 F xc是 f x的原函数;反 证 之,若G x为f x在该区间内的一原函数,则 G xf x,又因为 F xf x,所以,[ G xF x] ?0,对于该区间内的一切 x成立.由 前一章所学知识知道,G xF x等于常数 c,因此 G xF xc 定理2 原函数存在定理如果函数 f x在某一区间内连续, 则函数 f x在该区间内的原函数必定存在 例如,因为f x ?cos x在区间?,?内连续,所以它在这个区间 内存在原函数sin xc c为任意常数.二、不定积分定义2 函数f x的全部原函数 F xc称为 f x不定积分,记为 其 f x dxF xc式中, 叫作不定积分号;f x叫作被积函数;f x dx叫作被积表达式;x叫积分变量求不定积分就是求被积函数f x的全体原函数?例1 用微分法验证下列各等式: 2 x 1 4 1 x d x? c; 2 cos 2 x d xsin 2 xc5 2 2 2xx 4 4 证 1因为cx ,所以 x dx? c; 5 5? 1 1? 2由于 sin 2 xccos 2 x,所以 cos 2 x dxsin 2 xc 2 2?由导数与不定积分定义,很容易得到如下规律: d1 f x d xf x或 d f x d xf x d x; d x 2 F x dxF xc或 dF xF xc(微分运算与不定积分的运算是互逆的!)三、不定积分的几何意义一般地,若 F x是 f x的一个原函数,则 f x的不定积分为f x d xF xc是 f x的原函数族. c每取一个值 c ,就确定 f x的一个原函数, 0 在直角坐标系就确定一条曲线 yF xc ,这条曲线叫作函 0 数 f x的一条积分曲线.所有这些积分曲线构成一个曲线族称 y 为 f x为积分曲线族见图16-1 积分曲线族中所有曲线上具 有相同的横坐标 x的点,过这些点 的切线是平行的. x O图161 不定积分的几何意义四、基本的积分公式 由于不定积分是微分的逆运算,所以根据微分基本公式 就得对应的积公式:?1 x1 dxxc; 2 x dx? c, a?1; ?1 1 dx 3 dxln xc; 4arctan xc; 2? x 1x x dx a x 5arcsin xc; 6 a dx? c, a0且 a1; 2? ln a 1x x x 7 e dxec;8 cos x dxsin xc;?2 9 sin x dx?cos xc;10 sec x dxtan xc;? 2 11 csc x dx?cot x; 12 sec x tan x dxsec xc;? 13 csc xcot x dx?csc xc; 以上13个公式是积分法的基础,必须熟记,不仅要 记住等式右端的结果,还要熟悉左端被积函数的形式!五、积分的基本运算法则由导数的运算法则和不定积分的定义,可以得到以下不 定积分的运算法则