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——————————————————————————————————————————————— 用Lagrange中值定理求极限 科技信息 高校理科研究 用Ｌａｇｒａｎｇｅ巾值定理求极限 安阳工学院 臧雨亭 石留杰 ［摘要］极限是分析学的基础和重要工具，也是高等数学教学中的一个难点；Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理是微分学的一个极为重要的定理，它严谨地解释了连续函数自变量增量与函数值增量之间的关系。本文深刻的论证了用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理求解极限的方法，并以典 型例题为主体介绍这种方法的具体应用。［关键词］函数极限Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理１．引言 ａ，则 极限是分析学的基础和重要工具，它为建立后续的一系列重要概念——连续、导数、积分等提供了理论支持和工具辅助；而且极限本身的论证和求解也蕴含着深刻的数学思想、体现出高超的数学技巧，因而也必然成为高等数学教学实践中的一个难点。 Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理是微分学理论体系中一个极为重要和关键的定理，它严谨地解释了连续函数自变量增量与函数值增量之间的关系，又与后面的定积分及积分学中值定理一起深刻的揭示了微分和积分之间的关系。具体到题目当中，定理经常用来将某区间上的函数值增量处理为自变量增量的代数式，从而为下一步的论证和运算提供桥梁和便利；那么在求解极限的过程中遇到函数值的增量也可以尝试着使用定理进行处理，以期达到简化计算的目的。 ２．Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理及其在求解极限中的应用２．１Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理 如果函数ｆ（ｘ）满足：（１）在闭区间【ａ，ｂ】上连续；（２）在开区间ａ，ｂ）内可导，那么在（ａ，ｂ）内至少存在一点∈（ａ＜∈＜ｂ），使等式ｆｉｂ）一ｆ（ａ）＝ｆ（《）ｏ）一ａ）成立。 原极限ｌｉｍ塑篮尘二立：ｌｉｍ。ｏｓ∈：ｃｏｓａ。”８¨ ＝ 解法三应用三角函数的和差化积公式可得ｓｉｎｘ－ｓｉｎａ＝２ｃｏｓｌｘ＋＿ａ ｓｉｎ 等等，则 原极限ｌｉｍ！：！兰！竺呈抽竺兰！呈＝ｌｉｍ。半＝ｃｏｓａｏｃｏｓ掣???原极限ｌ——』———Ｌｄｉｍ——』———羔一 例２．３．２求极限ｌｉｍ兰二；二。 分析此极限若用Ｌ＇Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则求解会比较繁琐，考虑使用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理。 解当ｘ—加＋时ｓｉｎｘ＜ｘ，所以在区间［ｓｉｎｘ，ｘｌ上对函数“ｘ）＝２１应用Ｌａ— ｇｒａｎｇｅ中值定理可得 ２．２如何用Ｌ蝌∞ｇｅ中值定理求极限 应用Ｌ嘲．趾ｇｅ中值定理求解极限就是将极限当中符合条件的函数值增量处理为自变量增量与导数之积的形式再进行讨论，此时一定要 注意：（１）应用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理必须符合定理本身的条件，否则可能使 ｘ枷＋，所以㈨＋，则ｌｉｍ辈：ｌｉｍ一２ｑｎ２（ｘ．－ｓｉｎｘ）；ｌｉｍ２８１ｎ２：１ｎ２。 …。－８“。岛 ””“ ２ｘ－２１瓜＝２ｑｎ２?ｘ—ｓｉｎｘ），其中ｓｉｎｘ＜∈＜ｘ，由于当ｘ—＋ｏ＋时ｓｉｎｘ—＋ｏ＋且 即＋ 结论不成立；（２）在随后的极限的求解中一定要论证∈的变化趋势。 例２．３３求极限姆ｎ２（ａｒｃｔ”÷一ａｒｃｔａｎ善ｒ）（其中枷）。 分析此极限若用Ｌ‘Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则求解不仅要把数列极限转化为函 数极限，而且很繁琐。 例如，求ｌｉｍ坐￡姒时，如果“ｘ）满足一定条件——比如在Ｒ上连 ｒ４＆ Ｘ—ａ 续、可导，那么也必然在由点ａ和点ｘ所构成的闭区间上连续、开区间 内可导——因而可以使用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理将函数值的增量ｆ（ｘ）一“ａ）处理为ｆ④（ｘ—ａ）（其中∈介于ａ和ｘ之间，所以当ｘ—ａ时由夹逼准则可 解将函数“ｘ）＝ａｒｃｔａｎｘ在区间ｌ嚣ｒ，曼ｎｌ上应用Ｌａｇｒａｎｇｅ中值定理 知ｔ｝－－＇ａ），从而将极限处理为ｌｉｍ且州＝ｌｉｍ ｈ 法则容易验证该结果是正确的。 ２．３典型例题及解析 ｒ～ｘ－ａ ｈｒ（∈）＝ｒ（ａ），使用Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ 可得ａｒｃｔａｎ詈～“ｃｔａｎ者＝（ａｒｃｔ—ｘ）ｆＪ域。（詈一番ｒ）－了虿１ 于？｝＜∈＜一ａ Ｅ［１ｉｍ ‘面ｎｉ２可ａ，由 ａ＝ｌｉｒａ—号丁＝ｏ，所以当ｎ一＊时卜＋０，则 例２．３．１求极限ｌｉｍ—ｓｌｎｘ－—ｓｌｎａ。ｎ ｘ－ａ 原极限。ｌ—ｉｍ Ⅻ ３．结束语 Ｔ苦‘盎２ａ。 分析此极限可以用Ｌ’Ｈｏｓｐｉｔａｌ法则、Ｌａ