xx学年高二数学同步训练《用构造法求数列的通项公式》（北师大版必修五）.docVIP

用构造法求数列的通项公式 求数列的通项公式是高考重点考查的内容，作为两类特殊数列----等差数列·等比数列可直接根据它们的通项公式求解，但也有一些数列要通过构造转化为等差数列或等比数列，之后再应用各自的通项公式求解，体现化归思想在数列中的具体应用。 例1:（06年x高考题）数列 ( ) A． B． C． D． 解法1： 又 是首项为2公比为2的等比数列 ,所以选C 解法2 归纳总结：若数列满足为常数），则令来构造等比数列，并利用对应项相等求的值，求通项公式。 例2：数列中，，则 。 解： 为首项为2公比也为2的等比数列。 ，（n1） n1时 显然n=1时满足上式 小结：先构造等比数列，再用叠加法,等比数列求和求出通项公式， 例3：已知数列中求这个数列的通项公式。 解： 又形成首项为7，公比为3的等比数列， 则………………………① 又， ，形成了一个首项为—13，公比为—1的等比数列 则………………………② ①② 小结：本题是两次构造等比数列，属于构造方面比较级，最终用加减消元的方法确定出数列的通项公式。 例4：设数列的前项和为成立，(1)求证： 是等比数列。(2) 求这个数列的通项公式 证明：(1)当 又………………………① ………………………② ②—① 当时，有 又 为首项为1，公比为2的等比数列， (2) 小结：本题构造非常特殊， 要注意恰当的化简和提取公因式，本题集中体现了构造等比数列的价值与魅力，同时也彰显构造思想在高考中的地位和作用。 例5：数列满足，则 A． B． C． D． 解： 构成了一个首项这，公差为3的等差数列， 所以选B。 小结：构造等比数列，注意形，当时，变为。 例6：已知函数，又数列中，其前项和为，对所有大于1的自然数都有，求数列的通项公式。 解： 是首项为，公差为的等差数列。 。 时， 且当时， 符合条件 通项公式为 例7：（2006x高考题） 已知，点（）在函数的图象上，其中求数列的通项公式。 解： 又在函数图象上 是首项为公比为2的等比数列 小结：前一个题构造出为等差数列，并且利用通项与和的关系来确定数列的通项公式，后一个题构造为等比数列,再利用对数性质求解。数列与函数的综合运用是当今高考的重点与热点，因此我们在解决数列问题时应充分利用函数有关知识，以它的概念与性质为纽带，架起函数与数列的桥梁,揭示它们之间内在联系，从而有效地解决数列问题。 例8：(2007x高考题)已知数列满足，（）其中，求数列的通项公式 方法指导：将已知条件中的递推关系变形，应用转化成等差数列形式，从而为求的通项公式提供方便，一切问题可迎刃而解。 解： 。 所以 所以为等差数列，其首项为0，公差为1； 例9：数列中，若，，则 A． B． C． D． 解： 又是首项为公差3的等差数列。 所以选A 变式题型：数列中，，求 解： 是首项为公比为的等比数列 小结:且为一次分式型或构造出倒数成等差数列或构造出倒数加常数成等比数列，发散之后，两种构造思想相互联系,相互渗透，最后融合到一起。 总之，构造等差数列或等比数列来求数列的通项公式，是求通项公式的重要方法也是高考重点考查的思想，当然题是千变万化的，构造方式也会跟着千差万别,要具体问题具体分析，需要我们反复推敲归纳，从而确定其形式，应该说构造方法的形成是在探索中前进，在前进中探索。 判定等差数列的方法 　　本文介绍判定等差数列的方法，目的在于深刻理解等差数列的定义，灵活运用有关知识，为解有关数列的综合题奠定基础．那么怎样判定等差数列呢？ 　　一、定义法 　　如果一个数列{an}满足an+1－an＝常数，则这个数列叫做等差数列．据此定义，要证数列是等差数列，只需证明an+1－an＝常数，这种方法叫做定义法． 　　例1 已知数列{an}是等差数列，而数列{bk}的通项公式为 　　 　　证明 设数列{an}的公差为d，则有 　　 　　 　　 　　二、通项公式法 　　大家知道，等差数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d．反之如果数列{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d，则数列{an}是等差数列．这样，数列{an}为等差数列的充分必要条件是an＝a1＋(n－1)d．因此通项公式也是判定等差数列的好方法． 　　 　　求证：数列{bn}是等差数列． 　　证明 设等比数列{an}的公比是q，由an＞0知q＞0，于是 　　 　　 　　 　　三、等差中项法 　　三数a，A，b成等差数列，即2A＝a＋b