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用反证法证明-反证法例题 反证法”教学案例反证法”教学案例 数学组 梁华超 教学内容：人教版九年义务教育四年制几何第三册第14—16页。 教学目的： 1、知识技能：了解反证法，掌握反证法证题的过程。 2、过程方法：通过学生装的独立思考、交流合作，让学生装经历问 题解决的过程，体验解决问题策略的多样性。 3、情感态度：让学生感情感悟数学与日常生活的联系，激发学生学 习数学的兴趣。 重点难点：反证法证明命题的过程 教学方法：互动式教学 教学过程： （一） 导入（3分钟）： 师：中国古代有一个成语故事——自相矛盾，哪一位同学能讲述这个故事 呢？ （让学生讲这个故事） 师：这个故事蕴含什么道理？ 生：这个故事告诉我们要实事求是，不要夸大其辞。 师：很好，虽然这个故事是贬义的，但在数学中，我们常常借鉴这种“以 子之矛，攻子之盾”的做法来证明数学命题，这就是我们今天要学习的“反证法”。（板书课题） （二）掀起你的盖头来——认识反证法（10分钟）。 师：请同学们试证明命题“400人中至少有两个人的生日相同。”（课件 演示） （让学生分组讨论后交流） 生：写出每个人的生日，对比一下就知道了。 师：可以，有没有比他更简单的方法呢？ 生：假设400人中每两人的生日不同，那么一年会有400天，这与一年有365 天不符合，因此是不可能的。 师：很好，这位同学没有从正面去证明，而是从结论的反面出发，引出矛盾， 从而证明命题成立，这样的证明方法叫做反证法。它的特点是快捷、方便，请同 学们尝试证明命题：一个三角形中不可能有两个直角。（让学生模仿1的证明方 式，尝试证明此命题。） 生：假设有两个直角，则三角形的内角和就大于180度，这与三角形内角和 定理矛盾，因此原命题成立 师：很好，通过以上两个命题的证明，同学们能不能归纳出反证法的证题步 骤，各小组分开讨论，看看哪一个小组的结论最合理。（让学生分组讨论后进行 交流） 生：我们小组的讨论结果是： （1）假设命题的结论不成立； （2）从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾； （3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确。 师：很好，其他小组有没有补充的（让同学们各抒己见，互相补充，归纳出 反证法证明命题的步骤） 师：在这三个步骤中，最重要的是第一步，如果找不到问题的反面，证明就 没有力度，同学们在运用反证法的时候要注意这个问题。下面我们一起来证明一 个命题，大家仔细体会反证法的证明过程： 已知：A、B、C三点在同一条直线上。 求证：过A、B、C三点不能作圆。 (引导学生分析，写出假设，推出错误的结论，教师板书证明过程。) （三）小试牛刀——尝试反证法（12分钟）。 师：下面我们做一组练习 练习1：用反证法证明下列命题（多媒体显示）。 ① 一个三角形中不可能有两个钝角。 ② 梯形的两条对角线不能互相平分。 ③ 两条直线相交，交点只有一个。 （让学生分组讨论，合作完成以上3个命题的证明，熟练反证法的证明过程）。 练习2：已知：如图三角形ABC中，D、E两点分别在AB、AC上。 求证：CD、BE不能互相平分。 （让学生独立思考完成，进一步巩固训练，然后交流解题思路） （四）举一反三——妙用反证法（13分钟）。 1、诸葛亮与反证法（3分钟）。 师：设计情景： 三国时代，蜀国丞相兼军师诸葛亮屯兵阳平时，派大将魏 延领兵去攻打魏国，只留下少数老弱军士守城，不料魏国大都督司马懿率大队兵 马杀来，靠几个老弱兵士出城迎战，犹如鸡蛋碰石头，怎么办？诸葛亮冷静思考 之后，传令打开城门，让老弱军士在城门口洒扫道路，自己则登上城楼，摆好香C 案，端坐弹琴，态度从容，琴声优雅。司马懿来到城前，见此情景，心中疑惑，他想：“诸葛亮一生聪明过人，谨慎有余，从不冒险。今天如此这般，与其一生表现矛盾，恐怕城内必有伏兵，故意诱我入城，决不中计也！”于是急令退兵。这就是家喻户晓的“空城计”。 ② 展开讨论：诸葛亮面临的问题是什么？从正面考虑该如何解决这个问题？诸葛亮是如何考虑的？ ③名家点评：诸葛亮利用了司马懿的心理上的矛盾，才以“不守城”来达到暂时“守住城”的目的。诸葛亮从问题（守住城）的反面（不守城）考虑，来解决用直接或正面的方法（用少数老弱军士去拼杀）很难或根本无法解决的问题，在历史上传为美谈。这就是家喻户晓的“空城计”。 2、律师与反证法（10分钟）。 师：①设置情景：这是生活中的一个真实的案例：一公司老总在某酒店设宴款待自己的朋友，他们点的菜中有一道叫做水煮鸡围虾，酒宴过半，客人突然提出这道菜中有一只红头大苍蝇，要求酒店方面给予赔偿，双方为此争执不休，酒店经理为了证实那不