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* * 第三章 协方差分析 Analysis of covariance 协方差分析是将相关回归分析与方差分析结合起来的一种重要的统计分析方法。本章将主要介绍协方差分析的意义以及单向和两向资料的协方差分析的方法。 第一节 协方差分析的意义 一、协方差的概念 有N对x、y的有限总体，其离均差乘积和除以N，叫做协方差。 而对于样本则为： 对于一个样本，可以用均方（MS）反映该变数的变异度，对于一个双变数样本，可以用均积（MP，也叫协方）反映其变异度，此变异度可描述为相关变异度或协同变异度，它反映了两个相关变数相互影响的大小，协方差绝对值愈大，两个变数相互影响愈大。 二、主要作用 在以前的学习中，我们知道当有k个单变数样本时，总方差的平方和与自由度可以分解为不同变异来源的平方和与自由度，从而获得相应的均方（MS），这叫方差分析。协方差也同样均有类同的性质：当有 k个双变数样本时，总协方的乘积和与自由度也可以分解为不同变异来源的乘积和与自由度，从而获得相应的协方（MP）。由于协方是相关回归分析中的一个重要统计数，所以，当得到不同变异来源的自由度、平方和、乘积和后，就能把方差分析和相关回归分析结合起来应用，这就是协方差分析。其主要作用有： 1. 对试验进行统计控制 在试验设计中强调的要采用各种措施使非试验条件尽可能对各处理的影响相对一致，这叫做试验控制。然而在实际工作中，即使尽最大努力，也难以使 试验控制达到理想效果（尤其是当我们的试验材料为动物、特别是大型动物时），也即是说很难保证试验用动物的初始条件相同。此时，可以利用协方差分析的方法将试验前的测定值（比如参试动物的初始重等）都矫正为同一水平（根据回归分析结果），然后再对矫正后的y值（即试验结果）进行方差分析，这样就可以消除试验处理前动物个体间的差异对试验结果的影响，而矫正后的y值是应用统计方法将动物的初始条件控制一致后得到的，故叫统计控制。这种将回归分析与方差分析结合起来的方法叫回归模型的协方差分析。 3. 测验多个线性方程中的回归系数bi的差异显著性 若各个bi无显著差异，表明各回归直线具有相同的斜率，因而可以求得一个合并的b值，以增加估计的精确性。若各bi有显著差异，则表明各回归线的斜率不同，不存字共同的b值。 第二节 单向分组资料的协方差分析 设有K组双变数资料（即K各处理)，每组内皆有n对观察值（x、y），则该资料为具有kn对观察值的单向分组资料，其中y为试验指标，x为对试验指标有影响而又难以控制一致的试验条件（见表1）。 对表1中的x变数和y变数进行平方和与自由度的分解方法前面已有介绍。而乘积和的分解为： 总： 处理： 误差： 上述公式为各处理的n相等时的分解，如果各处理的n不相等，则按下面公式进行分解： 总： 处理： 误差： 例：为了探讨饲料中添加不同量壳聚糖对仔猪生长性能和免疫力的影响，选择40头健康的条件相近的杜长大仔猪进行试验。将其随机分成4组，对照组（A）饲喂基础饲粮，试验处理（B、C、D）为在基础饲粮中添加不同量的壳聚糖。预试期为7天，正式期为21天，测定生长及血清生化等指标。表2为其中测得的增重量结果，试分析饲料中添加壳聚糖对仔猪增重有无显著影响？ 本试验中，尽管选择试验用的仔猪时尽量保持条件的相对一致性，也难保证仔猪的初始重一致，故资料用协方差分析方法。 协方差分析步骤和方法如下: 一、计算x、y变数的平方和、乘积和与自由度(见表3） 表3 x、y变数的平方和、乘积和及其自由度 变异来源 SSx SSy SPxy df 处理间 2.6968 0.178 0.529 3 处理内 7.4410 8.902 7.526 36 （误差） 总变异 10.1378 9.080 8.055 39 二、对x、y变数各做方差分析（结果见表4） 变异 来源 X变数 y变数 F值 SS df S2 F SS df S2 F 处理间 误差 2.697 3 0.899 4.349 0.178 3 0.059 1 7.441 36 0.207 8.902 36 0.247 总变异 10.138 39 表4 仔猪初始重(x)及增重量(y)的方差分