椭圆中定值、定点问题.docVIP

椭圆中定值、定点问题 　　有关“定值、定点”问题是解析几何题中常见的一种题型，在近几年的高考或模拟试题中频繁出现，这类题体现了动与静的辩证统一，是数学美很好的例证，所以受到一些命题专家的青睐.但这类问题涉及方程与曲线问题，方程组与不等式求解问题，向量问题等，从分考查方程（组）、转化化归、数形结合等数学思想，且变量较多，运算量大，学生常常运算不下去，导致失败.下面就通过一些考题的求解分析，感受一下这类问题的解题策略和方法. 　　一、 椭圆中的定值问题 　　例1 徐州市2011―2012学年度高三第二次质量检测第18题 　　如图，已知椭圆C∶x?24+y?2=1，A、B是四条直线x=±2，y=±1所围成的两个顶点 　　（１） 设P是椭圆C上任意一点，若OP=mOA+nOB，求证：动点Q（ｍ，ｎ）在定圆上运动，并求出定圆的方程； 　　（２） 若M、N是椭圆C上两个动点，且直线OM、ON的斜率之积等于直线OA、OB的斜率之积，试探求△OMN的面积是否为定值，说明理由. 　　解：（1） 点Q（m，n）在定圆x?2+y?2=12上. 　　(2) 设M（x?1，y?1），N（x?2,y?2）,则y?1y?2x?1x?2=-14. 　　平方得x??2??1x??2??2=16y??2??1y??2??2=(4-x??2??1)(4-x??3??2),即x??2??1+x??2??2=4. 　　因为直线MN的方程为(x?2-x?1)x-(y?2-y?1)-y+x?1y?2-x?2y?1=0,所以O到直线MN的距离为 　　d=|x?1y?2-x?2y?1|(x?2-x?1)?2+(y?2-y?1)??2, 　　所以△OMN的面积 　　S=12MN?d=12|x?1y?2-x?2y?1|= 　　12x??2??1y??2??2+x??2??2y??2??1-2x?1x?2y?1y?2= 　　12x??2??11-x??2??24+x??2??21-x??2??14+12x??2??1x??2??2=12x??2??1+x??2??2=1. 　　故△OMN的面积为定值. 　　评析：(2) 设M（x?1，y?1），N(x?2,y?2)，得出x??2??1+x??2??2=4是解题的关键.还可设直线OM、ON的斜率分别为k1、k2,求出M,N的坐标；也可设M,N的坐标的参数形式. 　　例2 已知椭圆x?2a?2＋y?2b?2＝1(a＞b＞0)经过点P62，12，离心率为22，动点M(2，t)(t0)． 　　(1) 求椭圆的标准方程； 　　(2) 求以OM为直径且截直线3x－4y－5＝0所得的弦长为2的圆的方程； 　　(3) 设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明线段ON的长为定值. 　　解： (1) 椭圆的标准方程为 x?22＋y?2＝1. 　　(2) 所求圆的方程为(x－1)?2＋(y－2)?2＝5. 　　(3) 方法一：过点F作OM的垂线，垂足设为K， 　　由平面几何知识知|ON|?2＝|OK||OM|. 　　则直线OM：y＝t2x，直线FN：y＝－2t(x－1)， 　　由y=t2x,? 　　y=-2t(x-1) 得x?K＝4t?2+4， 　　∴ |ON|?2＝xK1+t?24?xM1+t?24＝4+t?24?8t?2+4＝2. 　　所以线段ON的长为定值2. 　　方法二：设N(x?0，y?0)， 　　则FN=(x?0-1,y?0)，OM=（2，t），MN=(x?0-2，y?0-t)，ON=（x?0，y?0）. 　　∵ FN⊥OM，∴ 2（x?0-1）+ty?0=0，∴ 2x?0+ty?0=2. 　　又∵ MN⊥ON，∴ x?0（x?0-2）+y?0(y?0-t)=0, 　　∴ x??2??0+y??2??0=2x?0+ty?0=2. 　　∴ |ON|＝x??2??0+y??2??0=2为定值． 　　评析：方法一考察几何图形，由平面几何知识得到|ON|?2＝|OK||OM的关系，目标转化为求x?K；方法二设N(x?0，y?0)，利用向量垂直的性质得到2x?0＋ty?0＝2及x??2??0＋y??2??0＝2x0＋ty0＝2，整体代换求证目标. 　　二、 椭圆中的定点问题 　　例3 已知椭圆x?24＋y?2＝1的左顶点为A，过A作两条互相垂直的弦AM、AN交椭圆于M、N两点． 　　(1) 当直线AM的斜率为1时，求点M的坐标； 　　(2) 当直线AM的斜率变化时，直线MN是否过x轴上的一个定点？若过定点，请给出证明，并求出该定点，若不过定点，请说明理由． 　　解答: (1) M-65,45. 　　(2) 设直线AM的斜率为k，则AM：