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第五讲 二项式定理 热门题型 题型1 求展开式中的特定项 题型2 用系数配对法解决多项式乘法问题 题型3 三项式问题 1．二项式定理： ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数. ③项数：共项，是关于与的奇次多项式 ④通项：展开式中的第项叫做二项式展开式的通项。用表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有项。 ②顺序：注意正确选择,,其顺序不能更改。与是不同的。 ③指数：的指数从逐项减到，是降幂排列。的指数从逐项减到，是升幂排列。各项的次数和等于. ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是项的系数 是与的系数（包括二项式系数）。 常用的结论： 令 令 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即，··· ②二项式系数和：令,则二项式系数的和：， 变形式。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令，则， 从而得到： 题型一：二项式定理的逆用 1： 练： 题型二：求单一二项式指定幂的系数 2（2010重庆）的展开式中的系数为 （A）4 （B）6 （C）10 （D）20 3（2011天津）在的二项展开式中，的系数为 A． 　　　 B． 　　　 C． 　　　　 D． 4（2011湖北）的展开式中含的项的系数为 5（2011全国）（1—）20的二项展开式中，x的系数与x9的系数之差为: ． 7（2009北京卷文）若为有理数），则 （ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A．33 B． 29 C．23 D．19 9（2009全国卷Ⅰ文）的展开式中，的系数与的系数之和等于____. 10(2009湖南卷)在的展开式中，的系数为____ 11（2009陕西卷文）若,则的值为 （A）2 （B）0 （C） (D) w.k.s.5.u.c.o.m 14（2010全国卷1文数）(5)的展开式的系数是 -6 (B)-3 (C)0 (D)3 题型3：求系数最大或最小项：特殊的系数最大或最小问题 28．（00上海）在二项式的展开式中，系数最小的项的系数是 题型4： 求展开式中的特定项 例1 求二项式的展开式中的常数项. 【解题技巧】二项式展开式的通项是展开式中的第项，先求出第项的通项公式，再借助幂运算确定参数． 变式1.（2107山东理11）已知的展开式中含有项的系数是，则 . 解析 ，令得，解得． .（2015湖南理6）已知的展开式中含的项的系数为，则（ ）. A. B. C. 6 D. 解析，令，解得，可得，. 故选D. 例2 的展开式的常数项是_______． 解析因为，所以问题转化为求的展开式中常数项及含项的系数，由于该二项式的展开式的通项公式，所以若令，则展开式中的常数项为；若令，则展开式中的项的系数为，故所求的展开式中常数项为，应。 对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决. 变式1.（2017全国3卷理科4）的展开式中的系数为 A． B． C． D． .（2017全国1卷理科6）展开式中的系数为 A. B. C. D. 解析 ，对二项式展开中项的系数为，对二项式展开中项的系数为，所以的系数为.故选C. 变式3．若的展开式中没有常数项，则的可能值为（　 ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 解析 由题意可得(x+x3)n的展开式中没有常数项，且没有x1项，且没有x2项。 而(x+x3)n的展开式的通项公式为 故n4r=0无解，且n4r=?1无解，且n4r=?2无解。结合所给的选项可得，n=9选C. 的展开式的常数项是（ A. 15 B. -15 C. 17 D. -17 变式5．的展开式中的系数是（ ）A. B. C. D. 解析 根据二项式定理得展开式中的系数为+ =64 题型6 三项式问题 例3 求的展开式中的常数项． 解析 再利用二项式定理逐项分析常数项得． 【解题技巧】通过凑配重组等变形将三项式化归为二项式，也可以二次展开，分步进行． 变式1