概率论与数理统计课件（王志勇）c5-2.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * 中 心 极 限 定 理 * * §5.2 中心极限定理 1. 定义: 依分布收敛 一. 基本定义 设随机变量X，X1，X2，…的分布函数分别为F( x ),F1( x ), F2( x ), …,若 在F( x )的每一个连续点上都成立，则称随机变量序列{Xk}, k = 1,2,…依分布收敛于X 。并记为 2. 定义：中心极限定理 设随机变量 X ~ N(0,1)，{Xk}，k = 1,2,…相互独立，且数学期望和方差都存在, 若标准化随机变量序列 依分布收敛于 X ，则称随机变量序列{ Xk }，k = 1,2,…服从中心极限定理。 注:1. 它解释了现实中哪些随机变量可看服从正态分布? 2. 它给出了概率的近似计算公式。 若随机变量序列{ Xk }，k = 1,2,…满足中心极限定理，有 所以 n 当足够大时，可以认为 近似成立，从而 近似成立. 1. 独立同分布中心极限定理 二. 中心极限定理 设{ Xk }，k =1,2…是一个相互独立、具有同分布的随机变量序列，且E( Xk ) = m， D( Xk ) = s2. 则随机变量序列{ Xk }满足中心极限定理，即有 重复试验次数估计 独立同分布中心极限定理的应用 1）求随机变量之和 取值的概率。 产 品 检 验 2）已知 取值的概率，反求n。 产 品 测 重 2. 棣莫佛-拉普拉斯中心极限定理 设随机变量序列{ Yn }，Yn ~ B( n, p ) ，n =1,2… 。 则对于任意的实数 x ，有 证明： 对于任意正整数n，随机变量Yn 可表示为 Yn = X1＋ X2＋…＋ Xn X1, X2,…, Xn 相互独立，Xi ~ B( 1, p )，且有 E( Xi ) = p , D( Xi ) = p(1-p) 所以相互独立的随机变量序列{ Xi }, i =1,2,…满足中心极限定理。即有 所以结论成立。 # 航船的稳定性 若X ~ B( n, p )，对于足够大的n，有 报亭售报问题 重 复 试 验 次 数 估 计 例：将一枚均匀硬币连续抛 n 次，试用中心极定理来估计 n ，使下式成立。 其中 A ={ 出现正面 }。 解：P( A )=1/2，令 则随机变量序列{ Xi }，i = 1,2,…是相互独立且同分布的。而且有 所以随机变量序列{ Xi }，满足独立同分布中心极限定理。 重 复 试 验 次 数 估 计 重 复 试 验 次 数 估 计 解得 n ≥ 16,641 (次) (250,000次) ? 航 船 的 稳 定 性 例：一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于3°的概率为 p = 1/3，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有 29500 ~ 30500 次纵摇角大于3°的概率是多少？ 解： 所求事件的概率为 假定船舶遭受波浪的各次冲击是独立的。记 X 为90000次冲击下纵摇角大于3°的次数，故有 航 船 的 稳 定 性 ? 检验员逐个地检查某种产品，每次花10 s检查一个，但也可能有的产品需要重复检查一次再用去10s，假设每个产品需要重复检查的概率为0. 5 ，求在8h内检查员检查的产品不少于1900个的概率。 分析：问题等价于求检查员检查1900个产品所花的总时间 X 不超过8h的概率 P{ X? 8 *3600 } 解：设检查第i个产品所花时间为Xi( i = 1,2,3,…,1900)则检查1900个产品所花的总时间为： 例： 显然 为相互独立的随机变量,且 同时 P(Xi =10) = P(Xi =20) =0.5 ( i = 1,2,3,…,1900) 即Xi 相互独立都服从同一分布。 由独立同分布中心极限定理，知 所求概率为： ? 在天平上重复独立称一重为a的物体，各次称量的结果Xi 同服从正态分布 N(a，0.04），若以 解:由题知 X1 , X2 , ….,Xn