关于Dirichlet函数若干简单性质浅析.docVIP

关于Dirichlet函数若干简单性质浅析 　　摘要 本文介绍了一种(数学分析中)不是很常见的函数――Dirichlet 函数，该函数可以作为学习数学分析中其它有关知识点的辅助工具。 　　关键词 Dirichlet；Riemann可积；存在原函数 　　中图分类号O13 文献标识码A 文章编号 1674-6708（2011）35-0088-03 　　Dirichlet函数虽不复杂，但不能用解析式表示。这一思想的提出，正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构” 的转变的开端，所以意义重大。1837年Dirichlet给出函数的定义：如果对于给定区间上的每一个x的值，有唯一的一个y值与它对应，那么y是x的一个函数。他接着说，至于整个区间上的y是否按照一种或多种规律依赖于x，或者y依赖于x是否可用数学运算来表示，无关紧要。Dirichlet的函数定义成了我们现在仍沿用的传统定义。在数学中还有许多概念和原理都与Dirichlet的名字联系在一起，如Dirichlet级数，Dirichlet原理（即抽屉原理），Dirichlet问题，Dirichlet条件，Dirichlet判别法等。 　　定义函数为Dirichlet函数。这是一个具有奇特现象的特殊函数，下面就的简单性质做一简要探讨。 　　1）有界性： 的值域为{0，1}有界，且. 　　2）周期性： 　　命题1. 　　证明： （1）充分性：设， 　　当时，. 　　当时，. 　　综上，当时恒有为的一个周期，根据有理数集的稠密性可知，不存在最小的正有理数，因此不存在最小正周期。 　　（2）必要性：，取x=0得，由定义知，即的任一周期必为有理数。 　　3）奇偶性：（1）当时，； 　　（2）当时，； 　　综上，有，即为偶函数。 　　4）连续性： 　　命题2 任意一个实数x0都是的第二类间断点。 　　证明：，假设在点x0处极限存在且。 　　（1）当时，，，，使得，此时有 ； 　　（2）当时，，，，使得，此时有。 　　综上，都不能作为在x0处的极限，因此在任意一点x0都不存在极限，进而在R上不连续、不可导。 　　事实上，对，由定义，当时， ， 　　当时，。 　　由此可知不存在，同理也不存在。因此x0为 的第二类间断点，按间断点的种类分应为振荡间断点。 　　提问：（1）试找出一个定义域为的函数f（x），使得f（x）只在一个点处连续。 　　解：考虑，易知f1（x）只在x=0处连续。 　　同理，考虑. 　　考虑，易知f2（x）、f3（x）均满足条件。 　　一般地，考虑，如果满足只在x=0处取得且连续，则f（x）就满足条件（1）。 　　（2）试找出一个定义域为的函数g（x），使得g（x）只在一个点处可导。 　　解：考虑，等等。 　　一般地，考虑，如果满足只在x=0处取得且，则f（x）就满足条件（2）。 　　很显然，满足题设条件（1）、（2）的函数有无穷多个，此处借助了在其定义域内处处不连续的性质。 　　 　　下面将给出的两个最为经典的性质供参考。 　　5）可积性： 　　命题3在任何闭区间上非Riemann可积 。 　　下面给出Riemann积分的两种定义和Riemann可积的三个常用的充要条件，并给出非Riemann可积相应的证明方法。 　　Riemann积分定义之一 　　设一元函数f（x）在[a,b]上有定义，[a,b]内存在n+1个点，依次为，这n+1个分点将[a,b]划分成n个子区间（下同），做成一种分法Δ，子区间的长度，我们称为分法Δ的模。对于[a,b]的上述分法Δ，任取点列，称为 f（x）在[a,b]上的一个Riemann和。如果存在并且与分法Δ和点列的选取均无关，则称f（x）在[a,b]上是Riemann可积的，记为 f（x）在[a,b]上的定积分。 　　由的周期性可知，当我们讨论在任意闭区间[a,b]上的可积性时，只需讨论在[0,1]上的可积性即可。 　　证法1：对定义在[0,1]上的，我们在[0,1]上做出一种指定的分法之后，只需在区间上选取两组不同的点列与，然后证明与不相等即可。 　　具体做法为：取 .由定义，且，显然。 　　 　　Riemann积分定义之二（用语言表述） 　　设一元函数 f（x）在[a,b]上有定义，，若对， ，对一切分法Δ和一切点列，只要满足，恒有，则称f（x）在[a,b]上Riemann可积，I为f（x）在[a,b]上的定积分，记作。 　　证法2：假设在[0,1]上Riemann可积，则，对，，对任意分法Δ和任意点列，只要，恒有. 　　特别地，取点列，，显然，. 　　而另一方面 　　. 矛盾！ 　　 　　Riemann可积的充要条件之一 　　在“