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导数在函数图象上交点问题及图象上运用
导数在函数图象上交点问题及图象上运用 【中图分类号】 G424.1 【文献标识码】B 【文章编号】 1001-4128(2011) 09-0064-02 运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究,实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢? 例1 已知函数f(x)=-x2+8x,g(x)=6lnx+m (Ⅰ)求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);(Ⅱ)是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点?若存在,求出m的取值范围;,若不存在,说明理由。 解:(Ⅰ)略(II)∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点, ∵x0∴函数(x)=g(x)-f(x) =c2-8x+6ln x+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 ∵=2x-8+ 随x变化如下表: ∴x极大值=(1)=1-8+m=m-7,x极小值=(3)=9-24+6ln3+m=m+6ln3-15 ∵当x→0+时,(x)→,当x时,(x) ∴要使(x)=0有三个不同的正实数根,必须且只须 ∴70或m-715-6In3 或m|m|时函数y=h(x)的图象与x轴只有一个公共点。 当x0,h(x)是增函数; 当时,h’(x)0,h(x)是增函数。(见图7) 图7 h(-2)=-19,h(-1)=25 方程h(x)=0在区间(-2,-1),内分别有惟一实数根,而在区间(0,3)和内没有实数根, 所以存在惟一的自然数m=3,使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根。 导数是近代数学的重要基础,是联系初、高等数学的纽带,它的引入为解决中学数学问题提供了新的视野, 是研究函数性质、证明不等式、探求函数的极值最值、求曲线的斜率和解决一些物理问题等等的有力工具。本文拟就导数的应用,谈一点个人的感悟和体会。 1、以导数概念为载体处理函数图象问题函数图象直观地反映了两个变量之间的变化规律,由于受作图的局限性,这种规律的揭示有时往往不尽人意. 导数概念的建立拓展了应用图象解题的空间 例 设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y= f(x)+f′(x)和的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是(D) 2、以导数知识为工具研究函数单调性对函数单调性的研究,导数作为强有力的工具提供了简单、程序化的方???,具有普遍的可操作方法。 例 已知f(x)=x3+bx2+cx+d是定义在R上的函数,其图象交x轴于A、B、C三点,点B的坐标为(2,0),且f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性.①求C的值.②若函数f(x)在[0,2]和[4,5]也有相反的单调性,f(x)的图象上是否存在一点M,使得f(x)在点M的切线斜率为3b?若存在,求出M点的坐标.若不存在,说明理由. 分析:①f′(x)=3x2+2bx+c, ∵f(x)在[-1,0]和[0,2]有相反的单调性. ∴x=0是f(x)的一个极值点,故f′(0)=0.∴c=0. ②令f′(x)=0得3x2+2bx=0,x1=0,x2= 因为f(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的单调性, ∴f′(x)在[0,2]和[4,5] 有相反的符号. 故2≤-2b3≤4,-6≤b≤-3. 假设存在点M(x0,y0)使得f(x)在点M的切线斜率为3b,则f′(x0)=3b. 即3x02+2bx0-3b=0.∵△=4b2-4?3?(-3b)=4b(b+9),而f′(x0)=3b. ∴△0(0使得ex0-x0-1a?x022 ex0成立?如果存在,求出符合条件的一个x0;否则说明理由。 分析:(1)证明:(Ⅰ)在x≥0时,要使(ex-x-1)≤ax2e|x|2成立。 只需证: ex≤a2x2ex+x+1即需证:1≤a2x2+x+1ex① 令y(x)=a2x2+x+1ex,求导数y′(x) =ax+1?ex-(x+1)ex(ex)2=ax+-xex ∴y′(x)=x(a-1ex),又a≥1,求x≥0,故y′(x) ≥0 ∴f(x)为增函数,故f(x)≥y(0)=1,从而①式得证 (Ⅱ)在时x≤0时,要使ex-x-1≤ax2e|x|2 成立。 只需证:ex≤a2x2ex+x+1,即需证:1≤ax22e-2x+(x+1)e-x② 令m(x)=ax22e-2x+(x+1)e-x,求导数得m′(x)=-xe-2
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