第六节 旋转曲面和 与二次曲面(少学时第三版简约型).pptVIP

(2) 椭球面 椭球面的归纳定义为: 容易看出，若 a = b，则该曲面就是旋转椭球面， 由旋转曲面讨论知，该旋转椭球面可看成是由 xOz 平面上的椭圆 绕 z 轴旋转一周而成的。 当 a ? b 时，相应的曲面与该旋转椭球面相差不大, 只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此只需将该旋转椭球面 沿 y 轴方向伸缩 b/a 倍即可。 单叶双曲面的归纳定义为: 易看出，若 a = b，则该曲面就是单叶旋转双曲面 由旋转曲面讨论知，该单叶旋转双曲面可看成是由 xOz平面上的双曲线 绕 z 轴旋转一周而成。 当 a ? b 时，相应的曲面与该单叶旋转双曲面相差 不大，只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此只需将该单叶 旋转双曲面沿 y 轴方向伸缩 b/a 倍即可。 (3) 单叶双曲面 双叶双曲面的归纳定义为: 易看出，若 b = c，则该曲面就是双叶旋转双曲面 由旋转曲面讨论知，该双叶旋转双曲面可看成是由 xOz平面上的双曲线 绕 x 轴旋转一周而成。 当 b ? c 时，相应的曲面与该单叶旋转双曲面相差 不大，只是在 y 轴方向上有所伸缩，因此只需将该单叶 旋转双曲面沿 y 轴方向伸缩 b/c 倍即可。 (4) 双叶双曲面 椭圆抛物面的归纳定义为: 考虑用截痕讨论该曲面的形状。 用垂直于 z 轴的平面 z = t 与此曲面相截，考察相应 截痕的形状： 当 t = 0 时，截得一点 O( x ,y , z )； 当 t 0 时，得 z = t 平面上的椭圆 当 t 0 时，平面 z = t 与该曲面没有交点。 (5) 椭圆抛物面 双曲抛物面的归纳定义为: 考虑用截痕考察该曲面的形状。 用垂直于 x 轴的平面 x = t 与曲面相截，截痕方程为 由截痕方程看出 当 t = 0 时，截痕为 yOz 平面上顶点在原点，以 z 轴 为对称轴，开口向上的抛物线。 当 t ? 0 时，截痕形状不变，只是沿平行于 yOz 平面 的方向作平移。 (6) 双曲抛物面 用垂直于 y 轴的平面 y = t 与曲面相截，截痕方程为 由截痕方程看出 当 t = 0 时，截痕为 xOz 平面上顶点在原点，以 z 轴 为对称轴，开口向下的抛物线。 当 t ? 0 时，截痕形状不变，只是沿平行于 yOz 平面 的方向作平移。 用垂直于 z 轴的平面 z = t 与曲面相截，截痕方程为 由截痕方程看出 当 t 0 时，截痕为 xOy 平面上方的平面 z = t 上以 平行于 x 轴的直线为虚轴，以平行于 y 轴的直线为实轴 的双曲线 当 t 0 时，截痕为 xOy 平面下方的平面 z = t 上以 平行于 x 轴的直线为实轴，以平行于 y 轴的直线为虚轴 的双曲线 例：设有方程 p 与 q 同号，试讨论方程 所对应的曲面形状。 令 z = k，联立方程有 研究截口形状： 曲面截口为平面 z = k 上的双曲线。 用截口法讨论曲面形状 用平行于 xOy 坐标面的平面与曲面相截 曲面可看成是动点按一定规律运动形成的 图形。由于建立了点和有序数组的“1-1”对 应关系，可进一步建立曲面与方程的“1-1” 对应关系,由此便可通过方程的讨论来研究曲 面性质。 (1) 经典观念 经典的几何观念将“面”看成是立体与立体的公共 部分，“线”看成是面与面的公共部分。 按照这种观念，曲线方程可通过联立曲面方程，并 由相应的方程组来讨论曲线。这对于 较为简单的曲线，讨论起来相对方便， 如直线、圆锥曲线等，但如果所论曲 线较复杂，按这种观念考察则会产生 困难，讨论起来也不尽方便。 (2) 轨迹观念 轨迹观念是由近代对质点运动的研究产生的对图形 的认识，这种认识是将“曲面”和“曲线”看成是动点 运动形成的轨迹。 按照这种观念，曲线和曲面的方程可通过将运动 轨迹转化为相应的代数形式来讨论。 这种观念对曲线的讨