第三章 随机变量的数字特征 医用 数统 基本方法 课件.pptVIP

第三章 随机变量的数字特征;定义 设离散型随机变量的概率函数为： P(X=xi)=pi i=1,2,3,… 若级数∑|xi|pi收敛（是一个有限值），则称级数∑xipi为的数学期望，记作E(X)，即 E(X)= ∑xipi 当∑|xi|pi发散时，则称X的数学期望不存在 例3.1 X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.3 E(X)=0.9;定义 设二维离散型随机变量的联合分布为： P(X=xi, Y=yj)=pij I,j=1,2,3,… X和Y的边缘分布分别为 P(X=xi)=pi?和P(Y=yj)=p?j ， 则称(E(X),E(Y)) 为(X,Y)的数学期望。其中 E(X)= ∑ ∑ xipij =∑xipi? E(Y)= ∑ ∑ yi pij= ∑ yi p?j ;例3.2 Y 0 1 0 0.1 0.2 0.3 X 1 0.3 0.4 0.7 0.4 0.6 ;2. 连续型随机变量的数学期望;4. 随机变量函数的数学期望;4. 随机变量函数的数学期望;3. 数学期望的性质;3. 数学期望的性质;例：设青壮年健康者5年内活着或自杀的概率为p， 5年内非自杀死亡的概率为1-p。保险公司开办5年保险。参保者交a元，若5年内非自杀死亡，公司赔b元（ba)。公司应如何确定b？若有m人参保，公司可期望收益多少？ 解：用X表示公司有一人参保的收益，则 X a a-b P p 1-p 由E(X)=ap+(a-b)(1-p)=a-b(1-p)0可得 aba/(1-p) E(mX)=mE(X)=ma-mb(1-p) 思考：p=0.99 a=0.2万元 m=1000;三、中位数、众数与分位数;对于连续型随机变量而言，中位数是把随机变量的概率分布划为两个相等部分的数。换言之，若是连续型随机变量的分布函数，则方程 F(x)=1/2 的根是X的中位数 例3.7：X~E(1)，Me=ln2 例3.8：离散型中位数不唯一 连续型中位数唯一;2. 众数(mode,MO);例： X 0 1 2 3 4 P 0.05 0.2 0.25 0.3 0.1 E(X)=1 Me=2 Mo=3 例3.9： X -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 0.3 E(X)=0.45 Me=1=Mo 例3.10 E(X)=Me=Mo 众数表示分布的高峰位置（单、多） 当概率密度曲线单峰对称时， E(X)=Me=Mo;3. 百分位数(percentile)，;定义3.9 设X为任一随机变量??如果存在数xα ，满足 P{X xα}=α,则称xα为随机变量分布的上侧（右侧）α分位数，或称上侧（右侧） α临界值(critical value)，如图3.1。 假设随机变量X的分布关于x=0对称，如果存在数xα/2，满足P{|X| xα/2}=α，则称xα/2为随机变量分布的双侧α分位数，或称双侧α临界值，如图3.2。 对于标准正态分布来说，其上侧临界值和双侧临界值分别用uα和uα/2表示。由标准正态分布的对称性可得 u1-α= -uα u1-α/2= -uα/2;第二节 方差、协方差和相关系数;定义3.10 设X是一个随机变量，若E(X)存在，则称X- E(X)为随机变量的离差(dispersion) 定义3.11 设X是一个随机变量， 若E{[X- E(X)]2}存在，则称 V(X)= E[X- E(X)]2为X的方差(variance) 思考：为何不用E|X-