第七章序贯的设计 《试验的设计与建模》课件.pptVIP

第七章序贯设计 7.1 优选法 模型 这里 f 未知， 每个因素试验范围 [ai,bi] 优选法 (黄金分割法, 0.618 法) 是一种寻找极值点的方法 单因素优选法 优选法可处理的函数 黄金分割法的作法 第一个试验点x1 设在范围 [a, b] 的0.618 位置上，第二个试验点 x2 取成 x1 的对称点，即： x1 = a + 0.618(b ? a), x2 = a + b ? x1 = a + 0.382(b ? a), 黄金分割法的作法 用 f(x1) 和 f(x2) 分别表示 x1 和 x2 处的响应值。此时分为以下两种情形： 情形1: 若 f(x1) 比 f(x2) 好，即 x1 是好点，于是把试验范围 [a, x2) 划去，剩下[x2, b]； 情形2：若 f(x1) 比 f(x2) 差，即 x2 是好点，于是把试验范围 (x1, b] 划去，剩下 [a, x1]； 例7.1 两因素的化工试验：反应时间 (x1?[2,12])、温度 ( x2?[120,160]) 其响应曲面 拟合模型 一阶模型（一阶模型设计） y = β0 + β1x1 + · · · + βsxs + ε, 二阶模型（二阶模型设计） 二阶模型设计也是一阶模型设计 响应曲面法的示意图 A. 最陡上升法 最陡上升法是一种使响应 y 往最陡上升的方向序贯移动的方法： 当前试验点 x 可能远离最优试验点 x?，则希望快速地从当前试验点过渡到最优试验点的小邻域内。 方向向量： 其中 为一阶模型中参数 的最小二乘估计值。 若使响应最小化，用其相反方向代替 例7.2. (例7.1 续) 设当前试验点位于xc = (x1, x2) = (3, 170)，在其小邻域 [2.5, 3.5] × [165, 175] 内用 L4(22) 正交设计加上xc 处重复nc = 5 次构成一次试验设计。 在中心点重复试验的原因： 获得随机误差方差的估计； 使试验中的两因素有三个水平，从而可检验因素的交互项和二次项是否显著。 试验结果 拟合模型 ? = 33.1231 + 5.1055x1 ? 4.4008x2 序贯步骤 当前最陡上升方向正比于(5.1055,?4.4008)，或等价的(1,?0.8620)。 沿着最陡上升方向，反应时间每增加一个单位(0.5分钟) 做一次试验，即 (3 + 0.5 × k, 170 ? 5 × 0.8620 × k), k = 1, 2, · · · , 当k = 10，即试验点 取为 x = (8, 126.9) 时 响应值最大 把x 作为当前试验点xc B. 二阶响应曲面 拟合模型 用矩阵的形式表达为 (7.8) 平衡点 由拟合模型 可求得 平衡点： 典型分析法 把拟合模型 (7.8) 变换到以平衡点为原点，并适当旋转坐标轴 模型(7.8) 通过简单的矩阵运算可得典范型： 式中λi 的正负号决定了平衡点的性质 当λi (i = 1, · · · , s) 都同号，xs 为极值点 当λi (i = 1, · · · , s) 异号，xs 为鞍点 C. 中心复合设计 当s ≤ 4，取s-维立方体的所有顶点(±1, · · · ,±1)；当s ≥ 5，取s-维立方体的部分顶点； s-维坐标轴上两两对称的 2s 个点：(±α, 0, · · · , 0)，(0,±α, · · · , 0)，· · · ，(0, 0, · · · ,±α)； 其中 α = 2(s?k)/4. 中心点 (0, 0, · · · , 0) 的 n0 次试验。 低维情形 7.3 均匀序贯试验 思想： 在响应曲面法的每一步试验中，考虑用均匀设计以代替中心复合设计 优点： 保证了每一个因素有3 个以上的水平 每一步试验数目也不太多 常规做法：在试验域中均匀的布很多点，把最靠近 最优解的点作为近似解，但其收敛速度 慢。故需考虑序贯法 A. SNTO 设 P0 = {yk, k = 1, · · · , n} 为 Cs = [0, 1]s 上的设计，并设 xki = ai + (bi ? ai)yki, i = 1, · · · , s, xk = (xk1, · · · , xks), k = 1, · · · , n, 则 P = {xk, k = 1, · · · , n} 为试验区域 χ=[a, b]?Rs 中的设计。 在试验中，不同的区域选择同样的设计 P0