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微分中值定理和泰勒公式一些应用 　　【摘要】微分中值定理及泰勒中值定理,是人们研究函数性质,沟通函数及其导数开通的新的渠道,是微分学的理论基础。其相关证明问题在历届考研中出题率较高,为此本文通过综合应用给予了一些示例并对常用方法做出归纳。 　　 【关键词】导数 中值定理 　　 　　 1.关于微分中值定理的应用。 　　 1.1 利用拉格朗日中值定理证明恒等式或不等式。 　　 例1.证明: 　　 证:设,求导得,可以根据拉格朗日中值定理的推论知(常数) 　　 令x=0得,可知C=,所以。 　　 方法归纳:①证明等式时,将恒等式转化为,利用证明或设辅助函数,使;②若,则有恒等式其中是区间中的某一个数。 　　 例2.对,,证明: 　　 证:令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在使成立,即有 　　 方法归纳:当证明不等式时,关键是找到适当函数,然后对其在所给范围内应用中值定理,再将作适当的放大或缩小即可得证。 　　 1.2 在函数满足在上的假定条件下,要证至少存在一点,使得(其中G表示与的某个已知表达式)成立。有以下类题型: 　　 题型1:在要证明的原表达式基础上构造辅助函数F(x),要求F(x)满足罗尔或拉格朗日中值定理,然后从F(x)中分离出需证明的表达式或与其相近的式子。 　　 例3.已知上的二阶可导函数,,证明: 　　 (1)存在,且,,成立; 　　 (2)存在,使成立。 　　 证:(1)令,在上满足罗尔定理条件,故存在,使成立,即成立;同理在上可以证明存在,使得成立,且知是分离的。 　　 (2)令,在上满足罗尔定理条件,故存在,使成立,即,整理得。 　　 方法归纳:此题采用原函数法,其一般步骤为:①将欲证结论中的换为;②通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式;③用观察法或积分法求出原函数,为便于积分常数取为零;④移项使等式一边为零,则另一边即为辅助函数。 　　 例4.设,在上连续,在内可导。 　　 证明:存在,使得 成立。 　　 证:①令 　　 整理得。 　　 由此令,则在上满足罗尔定理条件,故存在,使得成立,即 　　 故 　　 证:②可令,则有在上满足拉格朗日中值定理, 　　 即即为所要证明的表达式。 　　 方法归纳:此题采用常数k值法,其一般步骤为:①另常数部分为K;②恒等??形,使等式一端为及构成的代数式,另一端为及构成的代数式;③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式,若是只要把端点改成,相应的函数值改成,则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数。 　　 题型2:当不易找到如一中的辅助函数,则引入新的函数,构成柯西条件。 　　 例5.设函数在上连续,在内可导,其中,证明:存在,使。 　　 证:由于 　　 　　 因此要证明的等式可以改写为①② 　　 ① 　　 ② 　　 引入函数,且对和应用柯西中值定理知,存在使得①成立。引入函数,且对和应用柯西中值定理知,存在,使得②成立,从而证明了要证明的等式。 　　 例6.设函数在上连续,在内可导,且。证明:存在,使得成立。 　　 证:要证的等式可以改写为 　　 ① 　　 ② 　　 对应用拉格朗日中值定理,存在使得①成立;对和应用柯西中值定理知存在,使得②成立,从而证明了要证的等式。 　　 题型3:当在整个区间上不易找出此时,采纳区间连分法,并利用闭区间上连续函数的性质。 　　 例7.设函数在上连续,在内可导,且,,求证:对任给的满足的正数存在互不相等的使得成立。 　　 证:由正数满足知,于是由连续函数的介值定理知,存在,使得。 　　 分别在和上应用拉格朗日中值定理知,存在和,使得 　　 例8.设函数在上二阶可导,且,,求证:则至少存在一点使得成立。 　　 证:首先分别在和上应用拉格朗日中值定理知,存在和,使得,。 　　 于是由得: 　　 　　 由要证的等式作辅助函数,显然在上连续,因此,由连续函数的最大值定理知,存在,使得。如果能证明,则。 　　 ∵有,而,有同理,由得。由(如果,则和相矛盾),得知。 　　 方法归纳:在解答一个综合证明时,其往往是多部分知识(不等式,证明方法,闭区间上函数性质等)的联合运用。因此,在复习此部分内容时有必要将有关部分熟悉。 　　 2.泰勒中值定理的一些综合应用。 　　 题型1:用泰勒公式作计算或证明 　　 例9.若函数在有二阶导数,且,则存在,使得成立。 　　 证:以分别带函数在处的泰勒公式得 　　 例10.设函数在(其中)上有二阶导数,且对任意有, 　　 证明:对任意,有。 　　 证:为将的一阶导数与及其二阶导数联系起来,利用的一阶泰勒公式。 　　 由假定知,对中的c和x相应的存在介于c与x之间的,使得