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《电磁场和 与电磁波》课件第3章 静态电磁场及其边值问题的解.ppt
3.4 静态场的边值问题及解的惟一性定理 3.4.1 边值问题的类型 已知场域边界面上的位函数值,即 边值问题:在给定的边界条件下,求解位函 数的泊松方程或拉普拉斯方程 第一类边值问题(或狄里赫利问题) 已知场域边界面上的位函数的法向导数值,即 已知场域一部分边界面上的位函数值,而另一部分边界面上则已知位函数的法向导数值,即 第三类边值问题(或混合边值问题) 第二类边值问题(或纽曼问题) 自然边界条件 (无界空间) 周期边界条件 衔接条件 不同媒质分界面上的边界条件,如 例: (第一类边值问题) (第三类边值问题) 例: 在场域V 的边界面S上给定 或 的值,则泊松方程或拉普拉斯方程在场域V 具有惟一值。 3.4.2 惟一性定理 惟一性定理的重要意义 给出了静态场边值问题具有惟一解的条件 为静态场边值问题的各种求解方法提供了理论依据 为求解结果的正确性提供了判据 惟一性定理的表述 惟一性定理的证明 反证法:假设解不惟一,则有两个位函数 和 在场域V内满足同样的方程,即 且在边界面S 上有 令 ,则在场域V内 且在边界面S 上满足同样的边界条件。 或 或 解:先长度为2L的直线电流的磁矢位。电流元 到点 的距离 。则 例 3.3.2 求无限长线电流 I 的磁矢位,设电流沿+z方向流动。 与计算无限长线电荷的电位一样,令 可得到无限长线电流的磁矢位 x y z L -L 2. 恒定磁场的标量磁位 一般情况下,恒定磁场只能引入磁矢位来描述,但在无传导电流(J=0)的空间 中,则有 即在无传导电流(J=0)的空间中,可以引入一个标量位函数来描述磁场。 标量磁位的引入 标量磁位或磁标位 标量磁位的边界条件 在线性、各向同性的均匀媒质中 和 静电位 磁标位 磁标位与静电位的比较 当r l 时,可将磁柱体等效成磁偶极子,则利用与静电场的比较和电偶极子场,有 解:M为常数,?m= 0,柱内没有磁荷。在柱的两个端面上,磁化磁荷为 R1 R2 r P z x -l/2 l/2 M ? 例3.3.3 半径为a、长为l的圆柱永磁体,沿轴向均匀磁化,其磁化强度为 。求远区的磁感应强度。 1. 磁通与磁链 3.3.3 电感 单匝线圈形成的回路的磁链定 义为穿过该回路的磁通量 多匝线圈形成的导线回路的磁 链定义为所有线圈的磁通总和 C I ? 细回路 粗导线构成的回路,磁链分为 两部分:一部分是粗导线包围 的、磁力线不穿过导体的外磁通量?o ;另一部分是磁力线穿过 导体、只有粗导线的一部分包围的内磁通量?i。 ?i C I ?o 粗回路 设回路C中的电流为I,所产生的磁场与回路 C 交链的磁链为?,则磁链? 与回路 C 中的电流 I 有正比关系,其比值 称为回路 C 的自感系数,简称自感。 —— 外自感 2. 自感 —— 内自感; 粗导体回路的自感:L = Li + Lo 自感只与回路的几何形状、尺寸以及周围磁介质有关,与电流无关。 自感的特点: 解:先求内导体的内自感。设同轴线中的电流为I,由安培环路定理 穿过沿轴线单位长度的矩形面积元dS =d?的磁通为 例3.3.4 求同轴线单位长度的自感。设内导体半径为a,外导体厚度可忽略不计,其半径为b,空气填充。 得 与dΦi交链的电流为 则与dΦi相应的磁链为 因此内导体中总的内磁链为 故单位长度的内自感为 再求内、外导体间的外自感。 则 故单位长度的外自感为 单位长度的总自感为 例3.3.5 计算平行双线传输线单位的长度的自感。设导线的半径为a,两导线的间距为D,且D a。导线及周围媒质的磁导率为μ0 。 穿过两导线之间沿轴线方向为单位长度的面积的外磁链为 解 设两导线流过的电流为I 。由于D a ,故可近似地认为导线中的电流是均匀分布的。应用安培环路定理和叠加原理,可得到两导线之间的平面上任一点P 的磁感应强度为 P I I 于是得到平行双线传输线单位的长度的外自感 两根导线单位的长度的内自感为 故得到平行双线传输线单位的长度的自感为
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