第九章 节 常微分方程5-7.ppt

例14. 写出下列方程特解的形式. (1) y ? 2y + y = 1 + x + x2 (2) y ? 3y + 3y + y = e?x (x?5) 解: (1)特征方程是 r2 ? 2r +1 = 0 因?= 0不是特征根，故有特解形式为 其根为r1= r2=1. (2)特征方程为 因 ? = ?1是特征方程的三重根, 故有特解形式为 其根为 r1 = r2 = r3= ?1. 类型 II (14) 当 ? ? i? 不是特征根时, k = 0; 当 ? ? i? 是一重特征根时, k = 1; 在不加推导的情况下, 给出的 y* 形式 (15) 例15. 求方程 y+y=xcos2x 的通解. 解： 特征方程为 r2+1=0, 其根为r1,2= ?i, 所以对应齐次线性方程的通解为 ?y = C1cosx + C2sinx. 因 ??i? =?2i不是特征方程的根, P1(x)=x, Qn(x)?0, 故可设特解为 y* = (ax+b)cos2x+(cx+d)sin2x y* = (–4ax+4c–4b)cos2x+(–4cx–4a–4d)sin2x y*代入原方程，得 比较两端同类项的系数，得 解之得 于是求得一个特解为 因此方程的通解为 例6 求通解 解 相应齐方程 特征方程 齐通解 先求 的特解 设 代入方程 再求 的特解 考虑辅助方程 可设 代入方程得 取实部得 原方程的特解 所求通解为 例6. 解: (1) 特征方程 有二重根 所以设非齐次方程特解为 (2) 特征方程 有根 利用叠加原理 , 可设非齐次方程特解为 设下列高阶常系数线性非齐次方程的特解形式: 例16. 设连续函数 f (x) 满足方程 上式两边关于 x 求导得 解：将方程写为 再求导，得 设 y = f (x), 则问题可化为求解初值的问题： y+y = ?sinx, y|x=0, yx=0 =1. 因特征方程 r2+1=0 的根为r1,2=?i，故对应应齐次线性方程的通解为 ?y=C1cosx+C2sinx. 又因 ??i? =?i是特征方程的根，可设特解为 y*=x(acosx+bsinx). 代入原方程后解得 于是 故原方程的通解为 将初始条件代入上式，得C1=0， 从而 即 例17. 写出方程 y?4y+4y=8x2+e2x+sin2x的一个特解 y* 的形式. 解：令 f1(x) = 8x2, f2(x) = e2x, f3(x) = sin2x. r2 ? 4r + 4 = 0, 其根为r1 = r2 = 2. 于是方程 y ? 4y + 4y = f1(x) 对应齐次方程的特征方程是 的特解形式是 方程 y? 4y + 4y = f2(x) 的特解形式是 方程 y?4y+4y = f3(x) 的特解形式是 由本节定理5知方程的特解形式为 3. 已知二阶常微分方程 有特解 求微分方程的通解 . 解: 将特解代入方程得恒等式 比较系数得 故原方程为 对应齐次方程通解: 原方程通解为 例7 设 具有连续的二阶偏导数 且满足 求 u 的表达式 解 记 则 同理 这是一个二阶常系数非齐次线性微分方程 解得 内容小结 ? 为特征方程的 k (＝0, 1, 2) 重根, 则设特解为 为特征方程的 k (＝0, 1 )重根, 则设特解为 3. 上述结论也可推广到高阶方程的情形. §6.用常数变易法求解二阶线性非齐次方程与欧拉方程的解法 1. 常数变易法 (i)先求出二阶线性齐次方程 的两个线性无关的特解?1(x),?2(x),则其通解为 (ii)设 是非齐次方程 的解。代入方程得 因为 所以方程组有唯一解C1(x),C2(x)，再积分求得C1(x),C2(x)。 2.非齐次线性方程通解求法------常数变易法 设对应齐次方程通解为 (3) 设非齐次方程通解为 设 (4) (5) (4),(5)联立方程组 积分可得 非齐次方程通解为 例. 解： 对于二阶方程 y + p1 (x) y + p2 (x)y = f (x) (4) 对应齐次方程 y + p1 (x) y + p2 (x)y = 0 (3) 如何求(3)和(4)的通解? 步骤一: 先找出(3)的一个特解 y1 : 当 p1 (x) + x p2 (x) = 0时, y1 = x 当 1 + p1 (x) + p2 (x) = 0时, y1