高三数学虚数证明.docVIP

高三 数学 证明 求证：若n,r是自然数，则 （xcos2πrn-ysin2πrn)+i(xsin2πrn+ycos2πrn)n=(x+yi)n 证明：(x+yi)n=(x+yi)n(cos2πrn+isin2πrn)n =x+yi(cos2πrn+isin2πrn)n =xcos2πrn-ysin2πrn+i(xsin2πrn+ycos2πrn)n成立 设x=cosα+isinα, y=cosβ+isinβ, z=cosγ+isinγ，试证： (y+z)(z+x)(x+y)=8xyzcosβ-γ2cosγ-α2cosα-β2 证明：y+z=(cosβ+cosγ)+i(sinβ+sinγ) =2cosβ+γ2cosβ-γ2 + i·2sinβ+γ2cosβ-γ2 =2cosβ-γ2 (cosβ+γ2+isinβ+γ2) 同理，z+x=2cosα-γ2 (cosα+γ2+isinα+γ2) X+y=2cosα-β2 (cosα+β2+isinα+β2) ∴左=(y+z)(z+x)(x+y) =8cosβ-γ2cosγ-α2cosα-β2cosα+β+γ+isinα+β+γ 又xyz=cosα+β+γ+isinα+β+γ 左=8xyzcosβ-γ2cosγ-α2cosα-β2 Z3 Z2 Z1 试证：对于复数Z1，Z2，有|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2|，等号什么时候成立？ 证明： 如图：Z1+Z2=Z3，在三角形中，|Z3||Z1|+|Z2| 即|Z1+Z2|≤|Z1|+|Z2| 试证：如果a+bi + c+di = x+yi，则 (x-a-c)2+(y-b-d)2=4a2+b2(c2+d2) 证明：a+bi + c+di =x+yi 两边平方，得，a+bi+2a+bi(c+di) +c+di= x+yi (x-a-c)+(y-b-d)i=2a+bi(c+di) 两边取模，得：(x-a-c)2+(y-b-d)2= 2a2+b2(c2+d2) 两边平方，得：(x-a-c)2+(y-b-d)2=4a2+b2(c2+d2) 若点P1，P2表示复数Z1，Z2，线段P1P2绕P1逆时针旋转90°到P1P3位置，试证：点P3表示复数Z1+i(Z2-Z1) P2 P1 P3 证明： 设Z1+P1P2 = Z2 Z1+P1P3 = Z3 P1P3 P1P3 = i·P1P2 ∴Z3= Z1+ i(Z2- Z1) 已知正方形两相对 顶点是1+2i ，3-5i，求表示其他顶点的复数 P4 P2 P1(1,2) P3(3,-5) 解：设Q为正方形中心，则Q的复数为2- 32i P2的复数=2- 32i+ i(1+2i-2+ 32i)= - 12 - 52i 其余略 P、Q点的复数表示记作Z，2Z+3-4i，若P在以原点为心，r为半径的圆上移动，求点Q的轨迹和方程。 解：设P为x+yi，则x2+y2=r2 又设Q为A+Bi，则A=2x+3, B=2y-4 ∴(A-3)24+(B+4)24=r2, (A-3)2+(B+4)2=(2r)2 ∴Q 在 以（3，-4）为圆心，2r为半径的圆上移动。 下列方程的根在复平面表示什么点？ xn+xn-1+……+1=0, (+1=0) 解：当n=1时，方程的根为x=-1 ,表示在复平面上（-1，0）点。 当n≥2时，利用（x-1）(xn+xn-1+……+1)= xn+1-1 可知原方程的n个根与1表示为半径为1，中心在原点的内接正n+1边形的各顶点。 设点P1，P2，P3，P4，P5，P6分别用复数Z1，Z2???Z3，Z4，Z5，Z6表示，试证：?P1P2P3~?P4P5P6的充要条件是Z1-Z2Z3-Z2=Z4-Z5Z6-Z5. 证明：充分性 Z1-Z2=P2P1， Z3-Z2= P2P3， Z4-Z5= P5P4， Z6-Z5=P5P6 ∵Z1-Z2Z3-Z2=Z4-Z5Z6-Z5 ∴Z1-Z2与Z3-Z2的交角=Z4-Z5与Z6-Z5的交角 另外，P1P2P3P2=P4P5P6P5， ∴满足相似三角形的条件。 证必要性：已知相似，则以上两关系成立，∴Z1-Z2Z3-Z2=Z4-Z5Z6-Z5 试证：如果2cosθ1=x1+1x1，2cosθ2=x2+1x2……2cosθn=xn+1xn，则