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例6. 求 例9. 一、 格林公式 * 第二节 一、对坐标的曲线积分的概念 与性质 二、 对坐标的曲线积分的计算法 三、两类曲线积分之间的联系 对坐标的曲线积分 一、 对坐标的曲线积分的概念与性质 1. 引例: 变力沿曲线所作的功. (其中? 为 n 个小弧段的最大长度) 2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑弧, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 在 L 上定义了一个向量函数 极限 记作 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 称为被积函数 , 其中, 3. 性质 (1) 若 L 可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) 用L－ 表示 L 的反向弧 , 则 则 定积分是第二类曲线积分的特例. 说明: 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向 ! 二、对坐标的曲线积分的计算法 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 存在, 且有 如果 L 的方程为 则 空间光滑曲线弧 ?: 有 ◇ ◇ 例1. 计算 其中L 为沿抛物线 从点 的一段. 例2. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的上半 圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 例4. 设在力场 作用下, 质点由 沿?移动到 试求力场对质点所作的功. 其中?为 点 O 的距离成正比, 例 5. 设一个质点在 处受 恒指向原点, 沿椭圆 此质点由点 沿逆时针移动到 F 的大小与M 到原 F 的方向 力F 的作用, 求力F 所作的功. 从 z 轴正向看为顺时针方向. 例7. 已知 为折线 ABCOA(如图), 计算 三、两类曲线积分之间的联系 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方程为 已知L切向量的方向余弦为 则两类曲线积分有如下联系 类似地, 在空间曲线 ?上的两类曲线积分的联系是 令 记投影为 将积分 化为对弧长的积 分, 其中L 沿上半圆周 例8. 设 曲线段 L 的长度为s, 证明 续, 在L上连 1. 定义 2. 性质 (1) L可分成 k 条有向光滑曲线弧 (2) L－ 表示 L 的反向弧 对坐标的曲线积分必须注意积分弧段的方向! 内容小结 3. 计算 ? 对有向光滑弧 ? 对有向光滑弧 4. 两类曲线积分的联系 ? 对空间有向光滑弧? : 作业 P200 (2), (4), (6), (8) 7 8 第三节 一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件 格林公式及其应用 *