三角形的三心复习课.docVIP

一、三角形内心 （一）定义 在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心,三角形内心的性质设ABC的内切圆为I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 　　2、BIC=90°+A/2． 　　3、如图 在RTABC中，A=90°△内切圆切BC于D则SABC=BD*CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是ABC内心的充要条件是： 　　向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 　　5、ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么ABC内心I的坐标是： 　　(ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 　　6、(欧拉定理)ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 　　7、点O是平面ABC上任意一点，点I是ABC内心的充要条件是： 　　a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 　　8、　双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 　　9、ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a 　　+c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 　　10、（内角平分线定理） ABC中，0为内心，A 、B、 C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，　则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b.三角形内接圆半径　　1、在RtABC中，C=90°，r=(a+b-c)/2． 　　2、在RTABC中，C=90°，r=ab/a+b+c 3任意ABC中r=（2*SABC）/CABC （C为周长）　三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心． 　　三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上三角形心的性质设ABC的外接圆为G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 　　性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内； （2）直角三角形的外心在斜边上，与斜边中点重合； 　　（3）钝角三角形的外心在三角形外. 　　性质2：BGC=2∠A，（或BGC=2(180°-∠A). 　　性质3：GAC+∠B=90° 　　证明：如图所示延长AG与圆交与P 　　A、C、B、P四点共圆 　　P=∠B 　　P+∠GAC=90° 　　GAC+∠B=90° 　　性质4：点G是平面ABC上一点，点P是平面ABC上任意一点，那么点G是ABC外心的充要条件是： 　　（1）向量PG=((tanB+tanC)向量PA+(tanC+tanA)向量PB+(tanA+tanB)向量PC)/2(tanA+tanB+tanC). 　　或（2）向量PG=(cosA/2sinBsinC)向量PA+(cosB/2sinCsinA)向量PB+(cosC/2sinAsinB)向量PC. 　　性质5：三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心.外心到三顶点的距离相等。 性质6：点G是平面ABC上一点，那么点G是ABC外心的充要条件　(向量GA+向量GB)·向量AB= (向量GB+向量GC)·向量BC=(向量GC+向量GA)·向量CA=0.外心的求法设三角形三边及其对角分别为a、b、c，A、B、C 　　正弦定理有r=a/（2sinA）=b/（2sinB）=c/（2sinC） r=abc/（4SABC）三角形重心是三角形三边中线的交点。三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线。每条三角形中线分得的两个三角形面积相等。直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三角形中线组成的三角形面积等于这个三角形面积的3/4.三角形心的性质　1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ?? 证明一 　　三角形ABC，E、F是AB，AC的中点。EC、FB交于G。 　　过E作EH平行BF。 　　AE=BE推出AH=HF=1/2AF 　　AF=CF 　　推出HF=1/2CF 推出EG=1/2CG 　　2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 ?? 证明二 　　证明方法： 　　在ABC内，三边为a，b，c，点O是该三角形的重心，AOA1、BOB1、COC1分别为a、b、c边上的中线根据重心性质知，