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WB G数学工作室_数学的精义在于蕴藏其中的自由 2012-2018东城区高三上期末(理)第20题 2012.已知M 是由满足下述条件的函数构成的集合：对任意f (x) 2 M 方程f (x) ¡ x = 0有实数根 0 0 函数f (x)的导数f (x)满足0 f (x) 1 i. 判断函数f (x) = x + sin x 是否是集合M 中的元素，并说明理由； 2 4 ii. 集合M 中的元素f (x)具有下面的性质：若f (x)的定义域为D ，则对于任意[m ; n] D ，都 0 存在x 2 (m ; n) ，使得等式f (n) ¡ f (m) = (n ¡ m)f (x )成立.试用这一性质证明：方 0 0 程f (x) ¡ x = 0有且只有一个实数根； iii. 对任意f (x) 2 M ; x 2 (a ; b) ，请证明：对于f (x)定义域中任意的x ; x ; x ，当jx ¡ x j 1且 1 2 3 2 1 jx ¡ x j 1时，jf (x ) ¡ f (x )j 2. 3 1 3 2 1 WB G数学工作室_数学的精义在于蕴藏其中的自由 2013.已知实数组成的数组(x ; x ; :::; x )满足条件： 1 2 n n x = 0 i i=1 n jx j = 1 i i=1 i. 当n = 2时，求x ; x 的值； 1 2 ii. 当n = 3时，求证：j3x + 2x + x j 6 1; 1 2 3 n 1 iii. 设a a a a ; a a (n 2) ，求证: a x 6 (a ¡ a ). 1 2 3 n 1 n i i 1 n
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