高三数学必威体育精装版高考第二轮复习《函数图像及其性质》试题研究专题讲解.docVIP

函数图像及其性质 高考考点突破 例1.设函数若,求关于的方程的解得个数. [分析]:由两个条件可求出,再利用图像或解方程求解. [解析]:解法一:由可得 方程等价于或 即或或即由3个解. 解法二: 由可得 图像如图所示.方程的解得个数,即与的交点个数.由图知两图像有A,B,C三个交点,故方程由三个解. [启迪]:函数的图像从形式上很好的反映出了函数的性质,所以在研究函数时,注意结合图像,在解方程和不等式等问题时,借助图像能起到十分快捷的效果,但要注意,利用图像求交点个数或解得个数问题时,作图要十分准确,否则容易解错. [变式训练]:已知函数. (1)求函数的单调区间,并指出其增减性; (2)求集合M={m︱使方程有四个不等的实根}. 解: 作出图像如图所示. 递增区间为,递减区间为. (2)由图像可知与图像有四个不同的交点,直线应介于轴与切线之间. 由得.时, 舍去. ,方程. 集合. 例2.设函数求证:当时,函数在区间是减函数. [分析]:利用定义,通过作差变形判定符号.常用的变形方法有通分,配方,因式分解,有时还可利用分子有理化或分母有理化. [解析]:设,且,则 又 即.所以函数在区间是减函数. [启迪]:用单调性定义证明函数单调系时,解析过程要严谨清晰,其中变形是关键,本题采用的分子有理化要用心体会,适时加以运用. [变式训练]:设函数求的单调区间,并证明在单调区间上的单调性. 解:在定义域内任取.则 又, 当或时函数才单调,且当或时, , 在上是单调函数. 例3已知定义域为R的函数是奇函数. (1)求的值; (2)若对任意的,不等式恒成立,求的取值范围. [分析]:结合奇函数的定义或特值法求参数的值,对于(2)要设法进行等价转化. [解析]:(1)因为是奇函数,所以,即解得. 从而有 又由知,解得 故 (2)解法一:由(1)知由上式易知在R为减函数.又因为是奇函数. 从而不等式等价于因为是减函数,由上式推得即对一切有从而判别式解得 解法二:由(1)知又由题设条件得 即整理得,故.上式对一切均成立, 从而判别式解得 [启迪]:(1)已知函数的奇偶性,单调性和参数,注意利用下列关系:为奇(或偶)函数,则定义域关于原点对称,且对定义域内任意的,恒有(或)成立. 为单调增(或减)函数,则在定义域内对任意的,当时,不等式(或)恒成立; (2)对本题中(1)可利用“是奇函数,则恒成立”作转化,但较繁琐; (3)对本题(2)涉及不等式恒成立问题,解答中是采用数形结合的方法,也可用分离参数与变量转化为关于的函数的最值,即对一切恒成立,当时,有 [变式训练]:已知是奇函数. (1)求的值; (2)求得单调区间,并加以证明. 解:(1) 恒成立,即恒成立, 则对任意的实数恒成立. (2) 是奇函数, 只需研究上的单调性即可.任取且,则 而时, 时, 当时, ,函数是增函数; 当时,,函数是减函数. 又是奇函数, 在上是增函数,在是减函数. 又时,恒有等号只在时取到,故在上是增函数. 高考阅卷在线 （2009年海南省高考理科第２１题）已知函数 如求的单调区间； 若在单调增加在单调减少，证明＜6 解析：（Ⅰ）当时，，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 当 当 从而单调减少. (Ⅱ) 由条件得：从而 因为所以 将右边展开，与左边比较系数得，故 又由此可得 于是 w. 点评：本题主要考查函数单调性，利用函数性质来进行不等式的证明． 智能提升演练 1.右图图像所表示的函数的解析式为 ( ) A. B. C. D. 答案：B 2.已知是定义在R上的奇函数,当时, ,则在R上的表达式为 ( ) A. B. C. D. 答案：B 3.函数的奇偶性是 ( ) A.奇函数 B.偶函数 C. 既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 答案：B 4.若均为奇函数在上有最大值5,则在上有 ( ) A.最小值-5 B.最大值-5 C.最小值-1