高三数学必威体育精装版高考第二轮复习《随机变量及其分布》试题研究专题讲解.docVIP

随机变量及其分布 高考考点突破 例1、袋子A和B中装有若干个均匀的红球和白球，从A中摸出一个红球的概率是，从B中摸出一个红球的概率为p． 从A中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止． (1)求恰好摸5次停止的概率； (2)记5次之内(含5次)摸到红球的次数为，求随机变量的分布率及数学期望E． [分析]本题考查利用概率知识和期望的计算方法 以概率的计算及期望的概念的有关知识为依托． [解析]（1）． (2)随机变量的取值为0，1，2，3； 由n次独立重复试验概率公式，得 ； ； ； ． （或）． 随机变量的分布列是 0 1 2 3 P 的数学期望是 ． [启迪]　本题中随机变量的确定，稍有不慎，就将产生失误，特别是的情形． [变式训练]　一个摇奖装置内有红球和白球共10个，每次摇出两个球（每次摇奖后放回），若两个球颜色不同则为中奖． （1）当红球数为1个时，求三次摇奖中至少有一次中奖的概率； （2）求摇奖中首次中奖的摇奖次数的分布列，当红球数为多少时，的数学期望值最小． [解析]（1）一次摇奖不中奖的概率为，所以三次摇奖中至少有一次中奖的概率为． （2）每次摇奖中奖的概率为，摇奖中首次中奖的摇奖次数服从几何分布，即，其分布列如下： 1 2 3 … … … … 数学期望． 当且仅当时，． 例2、设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，用随机变量表示函数的极值点个数． （１）求函数有极值的概率；（２）求的分布列和数学期望． [分析]函数有极值点的必要条件是导函数＝０有解，但０有唯一解时显然不存在极值点． [解析]（１）令＝０，当切仅当时，函数有极值。符合这样的ａ，ｂ共有２０组，所以函数有极值的概率． （２）的取值为０或２，由（１），则，其分布列为 0 ２ P 　　　 　　　　　　　　　　期望． [启迪]这个问题的易错点是时，认为函数有一个极值点，从而导致全盘皆错． [变式训练]　四个大小相同的小球分别标有数字１，１，２，２，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们标注的数字分别为x，y，记＝x＋y． （１）求随机变量的分布列； （２）设“函数在区间（２，３）上有且只有一个零点”为事件Ａ，求事件Ａ发生的概率． [解析]（１）的取值为２，３，４ ；； ２ ３ ４ P 所以的分布列为 （２）函数在区间（２，３）上有且只有一个零点的充要条件为，即，此时． 例３、甲、乙两个篮球队进行比赛每场比赛均不出现平局，而且若有一队胜4场，则比赛宣告结束，假设甲、乙在每场比赛中获胜的概率都是 （1）求需要比赛场数ξ的分布列及数学期望Eξ； （2）如果甲比赛场馆是租借的，场地租金200元，而且每赛一场追加服务费32元，那么举行一次这样的比赛，预计平均花销费用多少元钱？ [分析]本题要注意理解“若有一队胜4场，则比赛宣告结束”的含义． [解析]（1）根据题意ξ的取值应是4，5，6，7 ． “ξ=4”表示甲胜4场或乙胜4场，∴P（ξ=4）=2； “ξ=5”表示甲胜第5场且前4场中胜3场，或乙胜第5场且前4场中胜3场，∴P（ξ=5）=； “ξ=6”表示甲胜第6场且前5场中胜3场，或乙胜第6场且前5场中胜3场，∴P（ξ=6）=； “ξ=7”表示甲胜第7场且前6场中胜3场，或乙胜第7场且前6场中胜3场，∴P（ξ=7）=； 因此随机变量ξ的分布列为 ξ 4 5 6 7 P 并且Eξ=4×+5×+6×+7×= （2）用随机变量η表示举行一次这样比赛的所需费用，则根据条件，知η=32ξ+200， 由于Eξ=，所以Eη=E（32ξ+200）=32Eξ+200=386. 答：举行一次这样的比赛所需费用平均为386元． [启迪]　题（2）注意随机变量η与ξ的关系的利用，从而简化解题。 [变式训练]　足球赛规定：胜一场得3分，平一场双方均得1分，负一场得0分，四队同在一组进行主客场循环赛，队与其他队进行比赛的胜率是，负率是，则全部比赛结束后， （1）求队胜场的分布列与期望； （2）若得分不低于15分就能确保出线，则队出线的概率是多少？ [解析]（1）符合二项分布 0 1 2 3 4 5 6 （2）可取15，16，18. 表示胜5场负1场，；表示胜5场平1场，；′表示6场全胜，.∴. 高考阅卷在线 （2009浙江省高考第19题）在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数． （1）求这3个数中恰有1个是偶数的概率； （2）记为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2）．求随机变量的分布列及其数学期望． [解析]（1）记“这3个数中恰有一个是偶数”为事件A，则