高三数学必威体育精装版高考第二轮复习《概率与统计》试题研究专题讲解.docVIP

概率与统计 高考考点突破 例1、有九张卡片分别写着数字1，2，3，4，5，6，7，8，9。甲、乙两人依次从中抽取一张卡片（不放回）．试求： （1）甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率； （2）甲、乙两人至少抽到一张奇数数字卡片的概率． [分析] 运用古典概型公式，结合排列组合知识加以解决．至少型问题可用直接法或间接法解决． [解析]（1）甲抽到奇数数字卡片的概率为，因为卡片没有放回，所以乙抽到偶数数字卡片的概率为,所以甲抽到写有奇数数字卡片，且乙抽到写有偶数数字卡片的概率为． （2）或． [启迪]　注意恰当地进行分类，分类时应不重不漏；要分清问题是“放回”还是“不放回”． [变式训练]　甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格． （1）求甲通过考试的概率． （2）求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率． [解析] 记甲通过考试的概率为，乙通过考试的概率为． 则（1）． （2），所以甲、乙两人至少有一人考试合格的概率为． 例2、从正方形的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条是异面直线的概率是 ． [分析] 这是一类有关几何图形的概率问题，如何计算异面直线的对数是本题的难点所在，利用四面体模型可以轻松解决． [解析] 正方体的8个顶点可以构成个不同的四面体，而每个不同的四面体均存在3对异面直线，所以共有对异面直线． 所以两条直线是异面直线的概率． [启迪] 用间接法计算四面体的个数，这也是一个难点．利用四面体模型计算异面直线的对数的方法要注意掌握． [变式训练]　在一个圆周上有间距不同的9个点，以这9个点为顶点作没有公共顶点的3个三角形，则其不同的3个三角形的边不相交的概率是 ． [解析] 可分成两类计算： （1）如图1所示，共有3种；（2）如图2所示，共有9种； 所以符合题意的概率为． 例3、把一根长度为7的铁丝截成任意长度的3段，求能构成三角形的概率． [分析] 本题是一个几何概型的问题，关键是找出变量的线性约束条件，求出相应区域的面积． [解析] 设铁丝被分割成长度为x,y,7-x-y的三段，x,y满足 而这三段要构成三角形，则必须满足， 即． 所以能构成三角形的概率为 ． [启迪] 三段能构成三角形的充要条件是任意两边之和均大于第三边，由此得到符合题意的线性约束条件，画出平面区域，求得相应的面积． [变式训练]　在区间和分别取一个数，记为，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是 ． [解析] 由题意得，m,n满足的条件为． 易知，符合题意的概率为： ． 高考阅卷在线 （2009年广东高考数学B卷第17题） 根据空气质量指数API（为整数）的不同，可将空气质量分级如下表： API 0～50 51～100 101～150 151～200 201～250 251～300 级别 Ⅰ Ⅱ Ⅲ1 Ⅲ2 Ⅳ1 Ⅳ2 Ⅴ 状况 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中度重污染 重度污染 对某城市一年（365天）的空气质量进行检测，获得的API数据按照区间进行分组，得到频率分布直方图如图无所示： （1）求直方图中x的值； （2）计算一年中空气质量分别为良和轻微污染的天数； （3）求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率． (结果用分数表示。已知， ，，） [解析]（1） 所以． （2）(天)． (3) 某一天空气质量为良或轻微污染的概率为，其他状况的概率为，设该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率为P，则． 点评：本题的背景是环境问题，通过表格的形式呈现数据，考察概率统计中的频率分布直方图的有关知识，考察的内容相对简单，但数据比较复杂，在题目的后面已经给出了主要的运算结果，使运算得以简化．题（3）的解决体现了间接法的妙用． 智能提升演练 一、选择题 1、甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局，则比赛结束．假定甲每局比赛获胜的概率均为，则甲以3：1获胜的概率为（ ）． A. B. C. D. 解：选A。． 2、在上任取两个数，则两数之和大于的概率为（　　　）． A. B. C. D. 解：选B。由几何概型易得。 3、在北京奥运会中，外语学院的3名男生与2名女生志愿者被随机安排到3个不同运动场馆担任翻译，每个场馆至少一位志愿者，则恰好仅有1男1女两位志愿者被安排到同一场馆的概率是（　　　）． A. B. C.