高三数学必威体育精装版高考第二轮复习《函数与方程》试题研究专题讲解.docVIP

函数与方程 高考考点突破 例1.若抛物线和两端点的线段有两个不同的交点，求的取值范围. [分析]:先将曲线的交点问题转化为方程解得问题.进而转化为二次函数的实根分布问题,再通过解不等式组求得范围. [解析]:线段的方程为由题意得方程组有两组实数解.(1)代入(2)得有两个实根, 令因此,问题转化为二次函数在上有两个实根,故有 解得 故的取值范围是 [启迪]:本题将两曲线有两个不同的交点转化为列出的方程组有两组实数解.通过消元得到一元方程,对这个方程实根的研究转化为二次函数在上与轴有两个交点的问题,进而建立的不等式组求出,整个过程体现了用函数,方程,不等式的转换解决问题的思想. [变式训练]:是否存在这样的实数,使函数在上与轴恒有一个交点.若存在,求出范围,若不存在,说明理由. 解:若实数满足条件,则只需即可. 所以或 检验:(1)当时,所以令,即.得或.方程在上有两根,不合题意,故 (2)当时,此时令,即解得或.方程在上有两根,不合题意,故 综上所述, 或 例2.求证:对一切大于1的正整数恒有 [分析]:此类问题可以看成是变量为正整数的函数,而原不等式等价于 不等式的左边可构造关于的函数,利用函数的单调性解决问题. [解析]:令 则 又 . 即是单调增函数.又 当时,恒有 故 [启迪]:数列就是变量为正整数的函数,函数单调性的研究,可通过作差法或作商法.本题先构造函数,然后利用作商法证明其单调性. [变式训练]:已知函数 (1)求函数的最大值; (2)当时,求证 解:(1)其定义域为令得 当时,;当时,,故当且仅当时, (2)证明: 由(1)知 又 故 例3.设为定义在上的减函数,已知对于恒成立,求实数的取值范围. [分析]:由函数单调性定义去掉函数符号,进而将参数与变量的关系式进行分离,在转化为求函数的最值. [解析]:原式等价于对恒成立, 对恒成立. 令则(1)对恒成立 (3) 令(2) 对恒成立(4) 由(3)(4)可得所求实数的取值范围是 [启迪]:此类已知恒成立的不等式求参数的问题,常见的解题思路:一是分离参数与已知范围的变化,通过求函数的最值来确定参数的取值范围;二是数形结合,寻找参数满足的关系式,进而求出参数的取值范围.在解题过程中注意区分以下情形: (1) 恒成立; (2) 恒成立; (3) 有解 (4) 有解. [变式训练]:对于函数若同时满足下列条件:(1)在D内是单调函数;(2)存在区间使在上的值域为,那么叫做闭函数.若是闭函数,求实数的取值范围. 解:在是单调递增的函数.设则在上的值域为,则所以是方程的两个不等实根,即等价转化为方程在上存在两相异实根, 所以解得 高考阅卷在线 （2009年广东省高考理科第２０题）已知二次函数的导函数的图像与直线平行，且在处取得极小值．设． （1）若曲线上的点到点的距离的最小值为，求的值； （2）如何取值时，函数存在零点，并求出零点．W.w.w.k.s.5.u.c.o.m 解析：（1）依题可设 ()，则； 又的图象与直线平行 ， ， 设，则 当且仅当时，取得最小值，即取得最小值 当时， 解得 当时， 解得 （2）由(),得 当时，方程有一解，函数有一零点； 当时，方程有二解， 若，， 函数有两个零点，即； 若，， 函数有两个零点，即； 当时，方程有一解, , 函数有一零点 综上，当时, 函数有一零点； 当()，或（）时， 函数有两个零点； 当时，函数有一零点. 点评：在（1）中主要运用导数的几何意义，基本不等式，通过求解二次函数的最值来得到m的取值．在（2）中主要考查函数的零点问题，特别注意方程中二次项系数是否为0，若不为0，还要注意方程的零点个数． 智能提升演练 1.若函数在区间上式减函数,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：A 2.已知圆上任意一点都使不等式,则的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案：A 3.一个长方体共一顶点的三个面得面积分别是这个长方体的对角线长时( ) A. B. C.6 D. 答案：D 4.若关于的方程有解,则实数的取值范围是 ( ) A. B. C. D. 答案：D 5