高三数学必威体育精装版高考第二轮复习《三角函数综合应用》试题研究专题讲解.docVIP

三角综合应用 高考考点突破 例1: (2009年湖北省黄冈中学) 已知，且． （1）若为的三内角，当取得最小值时，求； （2）当时，将函数的图像按向量平移后得到函数的图像，求出所有满足条件的向量． 分析:（1）对函数进行配方得，由两平方和大于等于零求解. (2)本题其实就是三角函数图像的变换. 解：（1），由题意，得 或，或， 又，故或． （2）当时，， 按向量平移后得到函数的图象，故． 启迪:求三角函数的最值问题,除把三角函数化为的形式外，还可以进行配方求最值. 变式训练: (江苏省四校联考的三内角满足，设 . 试求函数的解析式及定义域; 判其单调性,并加以证明; (3)求函数的值域. 解：（1）∵，∴． ， ∵，∴． 又，∴，∴定义域为． （2）设， ∴． 若，则， ∴， 即． ∴在和上都是减函数． （3）由（2）知，或． 故的值域为． 例2：（2009年东北三省三校）已知向量 （1）当时，求的值； （2）求在上的值域．的值,再化弦为切即可求解; (2) )根据向量数量积的坐标公式，求的解析式,再由三角函数的性质求在上的值域．（1） ，， （2） ，∴，∴ ∴ ∴函数 . 启迪:向量与三角函数的综合,实质上是借助向量的工具性.解这类问题的基本思路是将向量转化为代数运算.常用到向量的数乘、向量的代数运算,以及数形结合的思想. 变式训练:已知向量且,定义函数 . 求函数的单调递增区间; 若,求的值; 若,求的最小正值. 解:(1) = 由,得, 故的单调增区间为 (2)由,得, . (3)若,则.. , 当时, 有最小正值. 例3：(2009年浙江省学军中学)某园林单位准备绿化一块直径为BC的半圆形空地，△ABC外的地方种草，△ABC的内接正方形PQRS为一水池，其余地方种花，若，△ABC的面积为S1，正方形PQRS的面积为S2 ⑴用a,θ表示S1和S2 ⑵当a固定，θ变化时，求取得最小值时的θ. 分析:(1) 在直角中将两直角边用表示出来即可求得,同理只需将正方形PQRS的边长用表示出来即可求得; (2)用表示得,再利用函数的单调性求解. 解: (1)在直角中, , . 令正方形PQRS的边长,边上的高,则,而, . (2), 当,即时. 启迪:该类问题以实际问题为背景,其建模后为解三角形问题,与三角函数、三角变换及函数的最值等知识交汇，具有一定的综合性.要注意三角变换的准确性及如何利用函数的单调性求函数的最值. 变式训练:设 (1)若用含的式子表示; (2)确定的取值范围,并求出的最大值和最小值. 解析:(1) (2) 即最大值为,最小值为-1. 高考阅卷要线 (2009年湖北省高考理科第17题) 已知向量 （Ⅰ）求向量的长度的最大值; （Ⅱ）设,且,求的值. 思路点拨: 本题主要考查平面向量、三角函数的概念、三角变换和向量运算等基本知识，考查基本运算能力. 解：（Ⅰ）解法1：， . 即. 当时,有,所以向量的长度的最大值为2. 解法2:. 当时,有,即,所以向量的长度的最大值为2. （Ⅱ）解法1：由已知可得, , ,即. 由,得,即, 或.于是或. 解法2:若,则.又由得 . ,即, ,平方后化简得. 解得或,经检验, 或即为所求. 点评:向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，本题是向量与三角函数的结合，主要考查平面向量的模长公式、两向量垂直的充要条件三角恒等变换等基础知识，本题考查的知识点虽多，但只要考生基础知识扎实，解答并不困难. 智能提升演练 一.选择题: 1. 函数在区间(，)内的图象大致是 （ ） A B C D 答案:D 2. 函数的图像的一条对称轴方程（ ） A． B． C． D． 答案:C 3. 已知偶函数y=f(x)在[1，0]上为单调递减函数，又为锐角三角形的两内角，则（ ） A. B. C. D.的图像上各点的横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变.然后再将图像向右平移个单位,所得图像恰与重合,则等于 ( ) A． B． C． D． 答案：B 5.已知为的非等腰三角形,且,则关于的二次方程的根的个数叙述正确的是 ( ) A．无实根 B．有两个相等实根 C．有两个不等实根 D．无法确定 答案:C 6. 若△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知向量 则角B的大小是 （ ） A．30° B．60° C．90° D．120° 答案:B 二.填空题