高三数学必威体育精装版高考第二轮复习《三角函数式的化简与求值》试题研究专题讲解.docVIP

三角函数式的化简与求值 高考考点突破 例1:求的值. 分析：首先化切为弦，然后通分合一变换，最后二倍角公式及诱导公式. 解： . 启迪:化切为弦，合一变换及诱导公式在三角函数式的化简与求值起着举足轻重的作用,应注意正确选择公式及公式的应用条件. 变式训练:化简: 解: . 例2: (2009年海南省)已知，，求及． 分析:将已知角与求解的角均化为单角,从而建立关系.同时注意到,,三个角之间存在内在联系,利用配角求解. 解法1：由题设条件，应用两角差的正弦公式，得． 又，．　　　① 由题设条件，应用二倍角余弦公式，得 ． 又，故．　　　　　② 联立①，②，解得． 因此． 由两角和的正切公式，得． 解法2：, ,. 启迪：对于条件求值问题,即由给出的某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”，使“目标角”变换为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分情况讨论，应注意公式的正用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，还要注意拆角、拼角等技巧的运用. 变式训练：（1）已知，且，求 的值； （2）已知,且,求的值. 解:(1) ,, , =, . (2), . 又. , . 例3: (2009年福建省)已知向量，函数，. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若，求的值． 分析:（Ⅰ）将已知函数转换为是问题的关键. （Ⅱ）配角及同角三角函数的基本关系式. 解: （Ⅰ）解法1： 因为，所以， 当，即时，有最小值0 解法2：求导 令，得，此时为增函数；当时，为减函数， 时，有最小值0 （Ⅱ），得 ，，又 ，得 . 启迪:注意合一变换、二倍角的正余弦公式和配角在解决三角函数问题中的广泛应用.本题中的第（Ⅰ）问首先利用合一变换,将化简为一个角的三角函数,这样才能解决函数的最值等问题; 第（Ⅱ）问中涉及配角问题.考生在复习中要重视这种类型的题目. 变式训练： (2009年广东省茂名市) 已知向量, , . （Ⅰ）求的值; （Ⅱ）若, , 且, 求. 解：（Ⅰ）, , . , ,即 , . （Ⅱ）, , 又,, . 高考阅卷要线 2009全国高考陕西理科数学试卷,则的值为 A． B． C． D．-2 解：由得，. . 故选A. 点评:化弦为切是解决本题的关键.三角函数的化简和求值中,一般涉及到角和函数名的变换.考生在解决些类问题时,要充分利用和差倍公式及同角三角函数的基本关系式化同角和同名再求解. 智能提升演练 一.选择题: 1. 设,且,则 ( ) A. B. C. D. 答案:B 2. 若，则的值为 ( ) A． B． C． D．,则 ( ) A． B． C． D．2 答案:C 4. 若 ( ) A． B． C． D． 答案:C 5. 如果，那么 （　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｂ 6. 当时，函数的最小值为 ( ) （A）2 （B） （C）4 （D） 答案:C 二.填空题: 7. 若角的终边经过点，则的值为______________． 答案: 8. 化简=__________． 答案: 9. 设 则= ． 答案:3 10. 若α=,则的值 三.解答题: 11. （1）已知，且是第二象限的角,求和; （2）已知求的值. 答案(1) (2) = 所以原式= 12.已知函数． （Ⅰ）求函数的周期和最大值； （Ⅱ）已知，求的值． 答案: 解：（Ⅰ） ＝ ∴周期为， 最大值为6 . （Ⅱ）解法1:由，得． ∴． ∴， 即 ， ∴． 解法2: 由，得, ,即. 解得. 规律方法提炼 1．“化异为同”，“切化弦”，“1”的代换是三角函数式的化简与求值的常用技巧． “化异为同”是指“化异名为同名” ，“化异次为同次” “化异角为同角”． 2． 合一变换指的是：，其中． 3．角的变换是三角变换的核心，如等．